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Così è dimostrata anche la seconda asserzione. Di più osserviamo che 

 le 24 sostituzioni riproducenti 27 appartengono tutte al gruppo T 0 delle 

 sostituzioni di l a e 2 a specie a determinante ad — §y = zt 1 con coeffi- 

 cienti interi nel campo (1 , e) e lo generano completamente poiché vi figu- 

 rano le quattro riflessioni fondamentali di jT 0 



Questo r 0 è adunque il più ampio gruppo in cui G 0 è contenuto come sotto- 

 gruppo invariante (d'indice 24). Concludiamo adunque; 



// tetraedro regolare U con angoli piani nulli e diedri = — è il 



poliedro fondamentale del grappo G 0 . Il più ampio gruppo in cui G 0 è 

 contenuto come sottogruppo invariante è il gruppo completo r 0 , che consta 

 di tutti i movimenti di l a e 2 a specie che trasformano in sè la divisione 

 tetraedrica dello spazio non-euclideo. 



4. Per passare alla divisione ottaedrica consideriamo quel sottogruppo G 

 del gruppo di Picard di sostituzioni unimodulari a coefficienti interi di 

 Gauss, che è definito dalle congruenze 



p = y = 0 (mod2): 

 abbiamo così in G le sostituzioni 



A ) /== ^^| ; «*--Pr = l , P^Y==& (m.od:2). 



Ampliamo il gruppo G in G 0 , aggregandovi le sostituzioni di 2 a specie 



-d) z= — - ad — py—1 



/9 = y = 0 (mod2), 



e, ricercando il poliedro fondamentale di G 0 , troveremo che esso è appunto 

 l'ottaedro regolare con diedri retti ed angoli piani nulli. 



Cominciamo dall'osservare che nelle sostituzioni ellittiche A) di G può 

 aversi soltanto 



a-\- J = 0, 



poiché l'altro caso a -J- J = =t 1 è incompatibile colla congruenza 



ad = 1 (mod 4) ; 



dunque le sostituzioni ellittiche di G hanno esclusivamente il periodo 2. 

 Conseguentemente due sfere di riflessione di G 0 non possono attraversarsi 

 che ortogonalmente. 



