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Ciò premesso, cerchiamo le riflessioni di G 0 , che avranno la forma 



(«! -f- ja 2 ) s Q 4- 2fgi 

 2*Vi* 0 + ("i — ' 



la quaderna «! , « 2 yi di numeri interi razionali soddisfacendo all'equa- 

 zione 



I piani di riflessione si ottengono per yi == 0 ed hanno le equazioni 



percorrendo £ gli interi ordinari. Questi piani dividono per ciò il semispazio 

 C > 0 in prismi retti a base quadrata, fra i quali sceglieremo p. es. quello 

 limitato dai quattro piani 



I) 9 = 0, II) £ = 0, III) ^ = 1, IV) £ = I, 



nell' interno del quale non penetra alcun altro piano di riflessione. La base 

 di questo prisma è nel piano grj il quadrato coi vertici nei punti 



0,1,1 + /,*. 

 Prendiamo ora le sfere di riflessione, date dall'equazione 



dove a 1 , « 2 , Yi percorrono le terne di numeri razionali interi che soddi- 

 sfano alla congruenza 



ai-f-«|=l (mod4y 1 ). 



Il massimo raggio delle sfere di riflessione è = £ ; fra queste sfere di 

 massimo raggio consideriamo le quattro 



v) 



VI) 

 VII) 

 Vili) 



£ 2 + (>?-i) 2 + £ 2 = | 

 (^-l) 2 + (9-l) 2 + C 2 = | 



l) 2 + (l7-i) 2 +^=4 



4 ' 



le quali sono descritte rispettivamente sui lati del quadrato considerato 

 come diametri. La regione del semispazio £ > 0 interna al prisma ed esterna 

 alle quattro sfere ci dà appunto un ottaedro regolare Jl con angoli piani 



