— 652 — 



nulli e diedri retti. I suoi 6 vertici sono nei punti 



V, = (0,0,0) , V 8 = (1,0,0) , V ;5 = (1,1,0) , V 4 = (0,1,0), 



V 5 = (i , f -, 0) , V 6 = (0 , 0 , oo) , 



tutti situati a distanza infinita nella metrica non-euclidea. Dimostriamo che : 

 L'ottaedro regolare II è il poliedro fondamentale del gruppo G 0 • 

 Intanto nessuna sfera di riflessione attraversa 77, poiché ciò non può 



TX 



avvenire lungo uno spigolo, i diedri essendo già = — . Una sfera di rifles- 

 sione che attraversasse II dovrebbe dunque contenere nel suo interno almeno 

 uno dei 5 vertici 



0,1,1 + 2,2,-^— 



e quindi taglierebbe ortogonalmente tutte e quattro le facce ivi concorrenti; 

 ciò che è impossibile. 



Esaminiamo ora i movimenti di l a e 2 a specie che sovrappongono 77 

 a sè stesso e che formano il gmppo ottaedrale ampliato di 48 sostituzioni. 

 Le 24 di l a specie sono le seguenti ('): 



i,0 



li:?) 

 ■ 



(-?:!) 

 (?:0 



(Vo 1 ) 



Ci-;) 



,) 



(l + $ — i) 



( 14 i|p 



(i, — (i — o) 



(l + e,-V) 



/_ (1 +*•),*• 

 \ -1,1 



Ct.V 1 ) 

 (i:J) 



i, — * 

 1, -r(X + 0 



a rio 



G+ì!-i) 



(=!:!) 

 (-V,\+0 



(?:o) 



^i,_(i+o; 



Nessuna di esse, esclusa l'identità, appartiene a G. Le altre 24 si 

 ottengono combinando le 24 precedenti p. es. colla riflessione 



z = ù 0 



e sono ancora tutte fuori di G 0 • 



Così è dimostrata la proprietà annunciata e vediamo altresì che il più 

 ampio gruppo r 0 che contiene G 0 come sottogruppo invariante (<T indice 48) 

 è il gruppo completo delle sostituzioni di l a e 2 a specie a coefficienti in- 

 teri nel campo di Gauss e col determinante ad — §y eguale ad una delle 

 unità — 1 ,±i. 



(') Nelle prime due linee scriviamo quelle di un sottogruppo diedrale G 8 . 



