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assegnata perpendicolarmente all'asse che passa per i due vertici indicati; 

 e poi (a pag. 103) mostra che proiettando da un estremo di un asse la 

 punteggiata esistente sulla tangente nell'altro estremo di esso, e da questo 

 estremo la punteggiata ad essa eguale opportunamente posta su una paral- 

 lela all'asse situata ad una determinata distanza si hanno nelle intersezioni 

 dei raggi corrispondenti i punti della conica. 



Ma adesso resta assodato che il merito di aver fatto questo passo ardi- 

 mentoso, che sopprimeva la difficoltà di ricorrere al compasso per costruire le 

 coniche a centro, è esclusivamente del nostro grande Cavalieri, e ciò non più 

 tardi del 1641 ('), e con un metodo più generale di quello escogitato dallo 

 stesso Hospital tanto tempo dopo, e valevole per tutte le coniche. 



Per esporre la costruzione di Cavalieri riprodurremo qui la sua stessa 

 figura (fig. 2 a della pag. 166) aggiungendovi soltanto le linee tratteggiate 

 CG, 11, 22, 33, di cui egli si è servito per la dimostrazione della regola 

 in altra figura. Egli dice: 



Se si vuol costruire una conica a centro di cui siano dati gli estremi 

 di un diametro AO ed un punto E, e la direzione del diametro coniu- 

 gato ad AO, si tirino per E la retta EG parallela al diametro AO e la 

 retta EC parallela al diametro coniugato ad esso, e si completi il parallelo- 

 gramma ACEG-; indi con rette parallele alla diagonale CG si determinino- 

 sulle rette CE , GE le due punteggiate simili 123 E , 123 E e si proietti la 

 prima da 0 , la seconda da A ; si avranno nei punti d'intersezione S , B , D 

 dei raggi corrispondenti dei fasci (A) ed (0) i punti della curva. 



La figura del Cavalieri potrebbe far ritenere che egli volesse limitare 

 la sua costruzione alla conica data dall'asse e da un punto, ma tanto il 

 ragionamento fatto, quanto la dimostrazione, non ammettono queste restrizioni, 

 ed anzi l'ultimo disegno a destra mostra che Cavalieri si è preoccupato di 

 far notare che la sua costruzione non era limitata solo al caso che il punto 

 E fosse un vertice della conica, ma che poteva essere un qualunque suo 

 punto. Nè le costruzioni di De Witt sono da ritenersi più vantaggiose di 

 quelle di Cavalieri, perchè il De Witt ottiene le divers e coniche con costru- 

 zioni differenti dipendenti o dalla rotazione di un angolo costante intorno al 

 vertice o dallo strisciamento di un angolo costante con un lato su una retta, 

 o dalla traslazione rettilinea di un segmento costante, e le costruzioni, che 

 sono diverse per la parabola e per l'iperbole e non sono nemmanco estese 

 all'ellisse, risultano tali che la generazione proiettiva delle coniche non ri- 

 sulta evidente ed immediata come in Cavalieri. Dippiù il Cavalieri dimostra 

 la sua costruzione in modo che si può enunciare il teorema : 



( l ) Questa costruzione dell'ellisse e dell'iperbole fu comunicata da Cavalieri a G. An- 

 tonio Rocca nei primi mesi del 1641 (cfr. Favaro, Gian Antonio Rocca. Ann. Istituto Ve- 

 neto, 1906). 



