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Mathematiche Annalen nel 1871, illustrata dai lavori del prof. Cremona, e del 

 prof. Brill. Queste equazioni si possono evidentemente ottenere dalla eliminazione 

 di una delle coordinate dalle due equazioni della curva data e di quella che la 

 interseca nei punti singolari che si considerano, ed in questo senso il secondo pro- 

 cedimento non differirebbe dal primo, se alla ricerca di quelle equazioni non si po- 

 tesse procedere direttamente. 



« Nel terzo procedimento infine alla ricerca dei valori delle coordinate dei punti 

 singolari si sostituisce quella dei valori del rapporto fra i parametri della retta che 

 ha, colla curva data, un numero di punti comuni o di punti di contatto corrispon- 

 dente alla singolarità della curva che vuoisi considerare. Questo terzo procedimento 

 può definirsi nel modo più generale come segue. Data una funzione omogenea f 

 di tre variabili a? 1? x. 2 , x 3 i rapporti delle quali rappresentino le coordinate di una 

 curva piana, supponendo che una di quelle variabili, per esempio la x 3 , sia una 

 fnnzione lineare delle altre due x^ x^ ; sostituendo questo valore di x 3 nella un- 

 zione f ottiensi una forma binaria, i coefficienti della quale contengono i parametri 

 di quella funzione lineare. Trattasi di determinare il rapporto dei parametri stessi 

 per modo, che la equazione la quale ottiensi eguagliando a zero, quella forma bi- 

 naria abbia rispetto alle sue radici, proprietà corrispondenti alle singolarità della 

 curva. Così per esempio se trattasi della ricerca dei punti di flesso della curva, 

 dovranno tre radici di quella equazione essere eguali fra loro, se dei punti di con- 

 tatto delle tangenti doppie, dovranno essere eguali due coppie di radici, e così via. 

 L' illustre Clebsch ha dato un primo esempio di queste ricerche nel suo importante 

 lavoro. « Sulla teoria delle forme binarie del sesto ordine e la trisezione delle fun- 

 zioni iperellittiche » pubblicata nelle Memorie dell'Accademia di Gottinga ed è ri- 

 tornato sullo stesso argomento in un breve lavoro nei Mathematische Annalen e 

 nella sua « Theorie der binar en algébraischen formen; Leipzig, 1872. 



«Il problema studiato da Clebsch come egli stesso lo definisce nei succitati -u\ 

 vori è il seguente: 



« Sieno u, v due forme binarie la prima del secondo, l'altra del terzo ordine, 

 si vuol determinare una funzione lineare % per modo che la espressione : 



sìa un cubo completo ». 



«Per quanto fine ed elegante sia l'analisi adottata da Clebsch in questa sua 

 ricerca, pure essa risentesi del modo alquanto speciale col quale fu definito lo scopo 

 della ricerca stessa e quindi quell'analisi, forse già complicata in questo caso non 

 presterebbesi alla soluzione di altre simili quistioni. Ma se il problema viene defi- 

 nito nel modo più generale esposto sopra, noi troveremo nelle condizioni le quali 

 devono verificarsi per la sussistenza di fattori multipli o di radici eguali, le equa- 

 zioni che conducono alla soluzione del problema analitico e del problema geometrico. 



« Così per esempio se la funzione omogenea f delle tre variabili a? 15 a? a , x 3 sarà 

 del terzo ordine, siccome sostituendo in esse per x 3 una funzione lineare delle altre 

 due si ottiene una forma binaria cubica la quale deve essere eguale al cubo di una 

 funzione lineare, i due invarianti, quadratico e cubico, della forma stessa, sono iden- 



