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Dalla prima di queste relazioni si deduce evidentemente che le sfere S„ ta- 

 gliano ortogonalmente la sfera S, che ha per centro e per raggio il centro p 0 ed 

 il raggio R del circolo S u circoscritto al triangolo p, p 2 p 3 ; sicché s u è il circolo 

 comune a tutte le sfere che avendo, insieme con le tre sfere S tt , i centri sopra 

 una retta R u di P, tagliano ortogonalmente la sfera S. Il piano P !t di s lt passa 

 per la retta perpendicolare al piano P in p 0 , sulla quale i due punti immaginarli ri, ri' 

 definiti da p 0 rJ = R V — 1, e p 0 it" — — R V — 1, sono comuni a tutti i cir- 

 coli s w . Se pel punto p„ si tiri nel piano P !t una retta r, i suoi punti d' incontro 

 p', p" col circolo s, t danno la relazione p 0 p'. p„ p" — R~ ; i punti di F si corri- 

 spondono quindi a due a due sulle rette r che passano per p 0 , formando coppie p', p" 

 di punti coniugati rispetto alla sfera S. Segue da ciò che la superficie F è annal- 

 lagmatica rispetto al punto p 0 , col modulo R, o sia è inversa di se stessa rispetto 

 alla sfera S. I punti p' 0 , p" 0 , nei quali il circolo s (4 incontra il piano P, apparten- 

 gono alla curva F 0 d' intersezione di questo piano con la superficie F ; essi sono per 

 dritto con p 0 , coniugati rispetto al circolo S„, e sono i punti comuni a tutti i cir- 

 coli che, avendo i centri sulla retta R, t , tagliano il circolo S 0 ortogonalmente. La 

 curva F 0 è inversa di se stessa rispetto al circolo S 0 ; descritta questa curva, se 

 sulla retta p/ p 0 ", che unisce due suoi punti coniugati rispetto ad S„, come dia- 

 metro, e nel piano P ti perpendicolare a P, si descrive il circolo s u , questo appar- 

 terrà alla superficie S. 



Nel piano P„ ■ il circolo s u ed il circolo massimo della sfera S si tagliano or- 

 togonalmente in due*~punti p u ', p ì( ", appartenenti alla curva d' intersezione della 

 superficie F con la sfera S ; la congiungente di quei due punti incontra il piano P 

 nel punto p u , che è il polo della retta R ìt rispetto al circolo S 0 , sicché variando i 

 parametri u u u ti u ì in (2), la locale del punto p„, o sia la proiezione ortogonale 

 sul piano P della curva d' intersezione della superficie F con la sfera S, sarà la 

 curva polare reciproca dell' inviluppo delle rette R u , rispetto al circolo S 0 . 



2. Cerchiamo ora l'inviluppo delle rette R u . Siano v u v t> v 3 le coordinate 

 triangolari di un punto v del piano P rispetto al triangolo fondamentale 'p, p 2 p 3 ; 

 le coordinate V it F 2> V 3 della retta V rappresentata dall'equazione 



Vi *\ V % v 2 ■+- V 3 v 3 = o, 



saranno proporzionali alle distanze di questa retta dai vertici del triangolo fonda- 

 mentale. 



Ciò posto, per la seconda delle relazioni (3) del numero precedente, l'equazione 

 della retta R^ sarà 



(1) ...... . u; -+- w 2 2 <y 2 -+- u* v 3 = o, 



sicché per le coordinate di questa retta si avrà 



V V V 



' 1 r i ' 3 



2 2 ' ' 5 



u. u„ u., 



