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Prima di procedere innanzi, richiamo alla memoria, ma in modo più significativo 

 dell'ordinario, la pratica della integrazione per parti. A questo fine abbiasi una fun- 

 zione della x, espressa dal prodotto N P, avremo 



dNP == NdP+ PclN, 

 ed integrando sarà NP = fN.dP -+- fPclN, 



donde /Pel N= NP —fNd P. 



Pongasi dN = Qdx, sarà N= fQdx, 



e sostituendo nella equazione precedente, avremo 



[PQdx == PfQdx — f(fQ dx) d P. 



Per tanto se abbiasi ad integrare, col metodo della integrazione per parti, un dif- 

 ferenziale F (x) dx; si decomponga opportunamente questo differenziale in due fat- 

 tori P, e Q dx, uno finito P, e l'altro differenziale Q dx, in guisa che f Q dx possa 

 facilmente ottenersi, e si avrà 



F (x) dx = P. Q dx, 



donde 



JF (x) dx = JP. Qdx = PfQdx — f (fQ dx) d P; 

 quindi la integrazione del dato differenziale, dipenderà dal sapere assegnare f ( f. Qdx)dP, 

 che in molti casi riesce più facile dell' integrale proposto. Laonde il cercato inte- 

 grale di F (x) dx, uguaglierà il prodotto del fattore finito P, nell' altro Q dx inte- 

 grato, meno l' integrale del prodotto di questo fattore integrato, nel differenziale del 

 fattore finito. 



Tornando sulla (5), chiaro apparisce, che ad integrare per parti il differenziale 



U -— dx, 



dx' 



dovremo decomporlo in due fattori, uno finito, che sarà U, l'altro differenziale, che 



sarà dx; cosicché avremo 



dx 



(6) 



d 9 V 





d* v , 



—r-, ; d x - 



dx 



-j 



dV 



fdV 



dU 



dx 



J dx 



dx 



le 



V 



dx 



dU 

 dx 



dx 



— — dx. 



Il corpo di cui trattiamo sia rap- 

 presentato dalla fig. 3, ed espri- 

 miamo con m L , m ì due elementi, de- 

 terminati dai medesimi valori delle 

 corrispondenti y, z, di cui sieno 

 x { , x 2 le relative ascisse; dalla (6), 

 si avrà 



dV 



-r- dx. 



dx 



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