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Moltiplicando questa equazione pel prodotto dy dz, avremo 



ed integrando sarà 



dn dz — dy dz a — - — dz, 



dx dx 



1 - \'Z 



x x L ajj -*x„ 



co 



*dUdV. d 

 dx dx 



equazione, che potrà scriversi anche nel modo seguente : 



td* V , 7 7 ; l , r„dV~[ r„dF1 



( 8) ..| u ^ w= -f itol-L"*! '** 



cZF 



— — c«? a // ds. 



dx dx 



Il primo membro di questa equazione rappresenta la massa di un corpo, avente 

 d ì V 



per densità variabile U — - , mentre chiamando v il volume del corpo stesso, abbiamo 



a ce 



dv = dx dy dz. Del resto dy dz rappresenta un elemento della totale superficie del 

 corpo, proiettato sul piano YZ; perciò chiamando con co la proiezione della super- 

 ficie totale del corpo sul piano YZ, avremo do = dy dz. Sostituendo questi sim- 

 boli nella (8), si avrà 



■ •' J dx 1 j \ L dxjx 1 L dxAxJ J dx dx 



L'elemento dw, come ora fu indicato, è la proiezione dei due elementi m i ed m ì sul 

 piano YZ; inoltre si chiami a la superficie di tutto il corpo, e finalmente indichiamo 

 con da l e con da i gli elementi di questa superficie, già rappresentati rispettivamente 

 da m i e da w a . Questi elementi s'intendano formati, sezionando il corpo con tanti piani 

 fra loro vicinissimi, paralleli al piano Y X, e similmente con altrettanti piani pa- 

 ralleli al piano ZX. Sieno oi u /3,, y, i coseni degli angoli, che fa rispettivamente 

 cogli assi coordinati la normale m l N l al primo elemento m l5 guidata verso l'esterno; 

 e sieno similmente a 2j /3 2j y a questi medesimi coseni, pel secondo elemento ra a , avremo 

 (10) d(ù — — a, da i = a 2 da t . 



In fatti essendo oc l il coseno dell'angolo, che fa quella normale coll'asse delle x, sarà 

 pure <x l il coseno dell'angolo che fa col piano YZ il piano tangente, nel quale si trova 

 l'elemento stesso ; perchè due piani comprendono un angolo, eguale a quello com- 

 preso dalle perpendicolari innalzate su i piani stessi. Ora siccome la proiezione di un 

 area sopra un piano, eguaglia questa, moltiplicata pel coseno dell'angolo, che fa essa col 

 piano medesimo, così resta dimostrata l'ultima equazione. Circa i segni da cui sono 



