spigoli dx, dy, dz, sono rispettivamente paralleli agli assi coordinati; ma ciascuno 

 spigolo, diviso per la diagonale stessa, rappresenta il coseno dell'angolo, formato da 

 queste due rette; ovvero anche il coseno dell'angolo formato dalla diagonale coll'asse 

 coordinato, cui lo spigolo stesso è parallelo ; perciò sarà in generale 



d V d V ; d V — dV dx d V dy d V dz 

 dx dy { dz dx ds dy ds ~ + ~ dz ds' 



Il secondo membro di questa equazione non altro esprime, fuorché — , poiché Fèfun- 



zione delle x, y, s; quindi avremo 



dV dV ^ dV _dV 



U dx tJ dy ' dz ds' 



Sostituendo questo valore nel primo trinomio del secondo membro della (13), avremo 



fu '(?—-+■ — + —) dv — fu —da— f(— — — — dU dV \ dv 

 J xdx 1 dìf dz* I J ds J J \dx dx dy dy dz dzì ' 



e valendosi della (4), sarà 



r UA Vdv = C u d I d( ._ f/tP d J _^ dU ÌX ^ db dv\ 



' J J ds J \dx dx dy dy dz dzì 



Questa è la formula di Green, in cui si rappresenta con v il volume di un corpo, 

 limitato da una superfìcie a per tutto convessa, e continua ;. mentre con s viene rappre- 

 sentata la normale ad un qualunque suo elemento superficiale da. Non sarà fuori di 

 luogo richiamare qui l'attenzione sulle due funzioni U e V, ricordando che le mede- 

 sime sono finite, e continue, ma del resto arbitrarie. 



Per semplificare abbiamo supposto, che il corpo considerato, si limiti da una 

 superficie per tutto concessa ; ma il ragionamento da noi svolto, per giungere alla 

 indicata formula (14), si applica pure ad un corpo, avente per limite una superficie 

 di ogni forma. In fatti qualunque sia questa forma, se guideremo una parallela 

 all'asse delle x, questa necessariamente intersecherà la superficie del corpo in un 

 numero pari di punti, che saranno m li m %> m 3) m K> corrispondenti alle ascisse 

 'x\ ) x ìt x 3> x Ki ....; e chiaro apparisce, che inveco della (9), si avrà per questo 

 caso la 



<->/'■• S(- [« Zlr \" a,- 1' tir ['' M ■ h 



r'dU dv 



J dx dx' 



equazione simile alla (9) stessa. In tutte le precedenti formule, come anche nelle 

 seguenti, s' intende che, ove non si trovino i limiti, 1' integrale deve riferirsi a 

 tutto il corpo. 



Mediante un ragionamento, non diverso da quello del precedente caso relativo 

 alla (9), indicheremo con dy 3 , da k ... le superficie degli elementi m 3J m 4 ..., e con 

 a 3l a k> ... i coseni degli angoli, che le normali agli elementi stessi, guidati da dentro 

 in fuori, formano coll'asse positivo delle x. Siccome da quanto abbiamo sup- 

 posto, deve ogni elemento m u m ì: m % ... aver comune la proiezione dy dz sul piano 



