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YZ; così per le ragioni del tutto analoghe a quelle riferite nel precedente simile 

 caso, relativo alla (9), dovranno aversi le 



(16) . . . da = — a t da l = a a da 2 = — <x 3 da s = u k da k .... 

 Ora prendiamo a considerare il primo termine del secondo membro della (15), e 

 combiniamolo colle (16), in un modo assolutamente identico a quello, col quale fu 

 operato sul primo termine del secondo membro della (9), mentre a questo furono 

 applicate le (10), cioè le 



dco = — a ì da i — a 2 da 2 . 

 Si ottiene con questa combinazione, che il primo termine del secondo membro 

 della (15), si riduce nella formula seguente 



a-fn'Eì ,,, ..|r'; r | ,,.,-1,:^] , IV li' I ,/*...), 



J \ L ; dx _\x l L dx Jx 2 ]_ dx Jx 3 L dx Jx k ) 

 da cui dobbiamo eliminare il dw, per mezzo delle (16) ; cosicché il medesimo primo 

 termine, si ridurrà come siegue 



che sarà giustamente rappresentato da 



i 



U —— a eh, 

 dx 



essendo a da la proiezione di un elemento qualunque della superficie del corpo. 

 Per tanto la (15) si trasformerà nel modo che segue 



c TT a* v r dv fdu dv 



I U - — dv = i U — a. da — ì — — dv, 



J d.x 2 J dx J dx dx 



la quale coincide colla (12). Dà ora in poi l'andamento dell'analisi per giungere 

 alla (14), rimane identico a quello praticato nel caso precedente, relativo alla 

 stessa (12). Quindi sarebbe inutile riprodurlo pel caso generale presente, per tor- 

 nare alla formula (14) di Green, la quale perciò si riferisce anche ad un corpo, non 

 convesso in ogni parte della sua superficie. 



Nella (14) i simboli 5, a, v riferisconsi alla forma del corpo di cui si tratta, 

 mentre U e V rappresentano due qualunque funzioni finite e continue, relative ad 

 elementi, che sono interni o superficiali al corpo stesso. Da ciò segue che nella 

 formula stessa possiamo senz'altro cangiare U in V, e viceversa; quindi sarà 



(17) fvAUdv fv—dc fi — — — — - U — ) dv 



J J ds " J \dx dx dy dy dz di) 



ove i limiti sono gli stessi di quelli della (14). Paragonando questa colla (17), avremo 



J/7A Vdv — jfV^ da = fvA Udv—Jv^d 7 . 



Sia V il potenziale di una massa M, sarà V funzione delle coordinate (x, y, z), 

 cioè del punto cui si riferisce il potenziale. Ciò posto l'equazione 



(18) . ... . . : . . . V-— costante 



rappresenta certe superficie, che si chiamano superficie di livello. Dando alla co- 

 stante del secondo membro di questa equazione (18), successivamente diversi va- 

 lori, abbiamo altrettante superficie di livello. Alcune di queste superficie si tro- 

 vano nell'interno della massa, ed altre fuori di essa; alcune poi possano trovarsi 



