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= da, otterremo una superficie di livello vicina infinitamente alla prima V = a, 

 che dovrà esprimersi per V -+- ci V; giacche al variare di a in a -t- da, deve anche 

 variare Fin V-+- dV. Per tanto si chiami con dn l'elemento MN della normale alla 

 superficie V — a, compreso fra le due superficie di livello, e con % si chiami l'angolo 

 M'MN, compreso fra le due normali, una sulla superficie S del corpo, l'altra sulla 

 superficie V di livello. Nel triangolo differenziale M'MN abbiamo 



MN : M 31' = cos i : 1, 



donde dn = ds cos i, e ds = — — ; perciò sarà. 



cos i 



(oo\ dV <lV 



Ora è facile vedere, che altro non rappresenta, fuorché la totale forza di azione 



dn 



della massa, che agisce; quale forza sappiamo dover essere diretta normalmente alla 

 superficie di livello. A convincersi di questa verità, basta considerare per un istante 

 la indicata normale, come asse delle ascisse di un sistema ortogonale, applicando 

 sul medesimo la nota formula 



X=—. . 

 dx 



Chiamando F la forza risultante in un qualunque punto della superficie di livello, 

 d V 



sarà — = F, perciò dovrà, secondo la formula (22), aversi la 



dn 



dV 



—— = F cos i, 



ds 



e sostituendo questo valore nella (21), sarà 



(23) . . . . . . . JF cos i da = — A ti Q. 



Riflettiamo inoltre, che la forza F agisce lungo la normale MN della superficie di 

 livello, e che i denota l'angolo compreso da questa normale, coll'altra MM' alla su- 

 perficie S del corpo. Da ciò risulta che F cos i altro non rappresenta, fuorché la 

 proiezione Ma della forza F—Mc sulla normale MM' alla superficie del corpo; cioè 

 la componente normale a questa superficie. 



Premesso ciò si vede facilmente, che la (23) si deve nel seguente modo enun- 

 ciare: La somma delle componenti F cos i da, normali alla superficie di un corpo, 

 esercitate sopra gli elementi di essa, uguaglia numericamente la massa Q dell'agente, 

 compresa dalla superficie stessa, e moltiplicata per An. 



Siano 5, ed S 2 (fig. 5) due superficie di livello, e prendiamo sopra la prima 

 delle medesime un elemento da^ quindi per ogni punto del perimetro di questo ele- 

 Fig. 5. a mento, guidiamo una linea ortogonalmente alle superficie di 



Ma> > livello, comprese fra le 5, ed S t . Si formerà in tale guisa un 



■■ ' canale, che intersecherà la superficie S t in un elemento da z della 



~/-\ s \ superficie stessa, il quale sarà corrispondente al primo da r Vo- 

 / / * Sa lendo che il teorema enunciato precedentemente si applichi 



Ml / " xs i a questo canale, di cui le basi sono fermate dagli elementi 



da x e da 2 , fa d'uopo estendere l'integrale, contenuto nella (21), a tutta la superficie 



