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Riusciranno simili i due triangoli A P N, A' P' N r ed i due B P N, B' P' N\ e si 

 avranno le proporzioni: 



PN:AN = A'N':P'N' PN:BN = B'N':P'N' 



ed eguagliando il prodotto degli estremi a quello dei medi: 



PNXP'N' = ANXA'N' PNXP'N' = BNXB'F 



e quindi anche 



ANXA'N' = BNXB' N', ossia AN:BN = B'N':A'N' 

 cioè la retta P'N', parallela alla AB, taglia l'intervallo A' B' in parti inversa- 

 mente proporzionali a quelle in cui l' intervallo AB è tagliato dalla retta r. Ora 

 siccome il raggio a' fu preso a piacere, ne viene che se si prende un altro raggio 

 qualunque p' del fascio A', il quale s'intersechi col suo corrispondente q' delB' 

 nel punto Q r , dovrà questo punto Q' trovarsi nella retta P' N'. Se infatti si tiri 

 per Q' una parallela alla AB, anche questa parallela taglierà la A' B' in parti in- 

 versamente proporzionali a quelle in cui la r taglia la AB; ciò che non potrebbe 

 essere se Q' non cadesse nella P'N'. Dunque i raggi del fascio A' s'intersecano 

 coi loro corrispondenti del fascio B' nella retta P' N', parallela alla AB. Si potrà 

 dunque stabilire la seguente proposizione: 



« Quando due fasci A, B, aventi i centri in una retta m, si tagliano in una 

 retta r, e siano A', B' due altri fasci, rispettivamente omotetici agli A, B, ed aventi 

 i loro centri in una retta r', parallela alla r, i fasci A', B' saranno fra loro pro- 

 spettivi, e si taglieranno in una retta m', parallela alla m. L'intervallo A' B' sarà 

 tagliato dalla m' in parti inversamente proporzionali a quelle in cui l'intervallo AB 

 è tagliato dalla r ». 



4. Qualora la retta m, i quattro centri A, B, A', B', e la retta r siano 

 dati, la m' resta necessariamente determinata, e potrà essere considerata come de- 

 rivata dalla retta m. Se i due centri A. B e la retta r siano dati, e sia dato inoltre 

 uno dei due centri A', B' si potrà sempre determinare il centro mancante in modo 

 che la m' coincida con una data retta m", parallela alla ni. La posizione del centro 

 mancante si determinerà infatti osservando, ch'esso deve trovarsi nella retta r r , con- 

 dotta per il centro dato e parallela ad r, e che il tratto A' B' deve essere tagliato 

 dalla m" in parti inversamente proporzionali a quelle in cui il tratto AB è tagliato 

 dalla r. La coincidenza della m' colla data m" si potrà poi in infiniti modi otte- 

 nere, se, data essendo la m, si lasci libera la scelta dei centri dei quattro fasci, 

 e della retta r. Da queste considerazioni sarà facile dedurre che: 



« Date due rette parallele, una qualunque delle due può essere considerata 

 come derivata dell'altra». 



Siano infatti m ed m' le due rette date, fra loro parallele, e trattisi di asse- 

 gnare quattro fasci A, A', B, B', e due rette parallele r ed r', tali che la m' possa 

 considerarsi come derivata della m. Preso un punto P' ad arbitrio sulla m' si con- 

 ducano per esso due rette a', b', non coincidenti, e preso un punto P, fuori della 

 <m, si conducano per esso due rette a,b, rispettivamente parallele alle a/,b'. Si 

 taglino le rette a', b' con una trasversale qualunque r', e si conduca per P la r, 

 parallela ad r'. I punti A, B, in cui le a-, b incontrano la m, ed i punti A', B', 

 in cui la r' incontra le a', b', saranno i centri dei quattro fasci, e la r sarà la 



