tanto alla ih', che alla m"; in tal caso il raggio a' s'intersecherà con b' nel punto N, 

 e nello stesso punto s'intersecheranno i due raggi a' e c'. Dunque anche i raggi b' 

 e c' s' intersecheranno nel punto N, ossia quando Q ed R cadono in N, anche S 

 cadrà in N. Ma il punto S deve sempre trovarsi sulla m'" , perciò le tre rette m', 

 m", m'" passeranno per uno stesso punto N. Siccome d'altronde esse devono essere 

 parallele rispettivamente alle tre rette AB, AC, BC, così potremo dire: 



« Ai tre lati del triangolo determinato da tre qualunque degli n punti A, B, C, 

 come vertici, corrispondono nella figura derivata tre rette, rispettivamente parallele 

 ai tre lati del triangolo e passanti per un medesimo punto ». 



8. Questo punto potrà chiamarsi nodo, e giova osservare, in vista delle 

 considerazioni che devono seguire, che non ogni punto per cui passano tre rette 

 della figura derivata è un nodo. Perchè lo sia bisogna che le tre rette corrispon- 

 denti della figura primitiva formino un triangolo avente i vertici in tre degli n 

 punti A, B, C, ... contemplati. Si osservi anche che per un nodo possono passare altre 

 rette, oltre le tre che costituiscono quel nodo. Per quest' altre rette quel punto non 

 è un nodo. Fra tutti i punti, in cui 'una delle rette derivate è tagliata dalle altre, 

 saranno nodi solamente quelli, nei quali essa è intersecata da due rette, le corri- 

 spondenti delle quali, insieme alla corrispondente della retta in questione, formino 

 un triangolo, avente i suoi vertici in tre dei punti A, B, C,... considerati. 



n(n — l) (n — 2) 



9. Gli n punti A, B, C, presi a tre a tre, danno — - com- 



u . à 



binazioni di verse, e tanti pure saranno i triangoli possibili, aventi i vertici in tre 



degli n punti. Dunque: 



« Se il poligono completo ABC... ha n vertici, la figura derivata avrà 



n(n — 1) (n — 2) 



— — nodi». 



2.3 



La fig. 3 presenta il caso di cinque punti A, B, C, D, E, che si suppongono 

 essere i centri di cinque fasci, i quali si tagliano tutti fra loro nella retta r. Presi 

 a piacere nella r', parallela alla r, cinque punti A', B', C, D', E', si suppongano 

 questi essere i centri di altrettanti fasci omotetici rispettivamente ai primi. La 

 figura derivata si otterrà facilmente, prendendo un punto P della r, e conducendo 

 le rette a, b, c, d, e, che saranno cinque raggi corrispondenti dei fasci A, B, C, D, E. 

 Condotte poscia per i punti A', B', C, D', E' le a', b', c', d', e', rispettivamente 

 parallele alle a, b, c, ci, e, si avranno altri cinque raggi corrispondenti, i quali s'in- 

 tersecheranno in dieci punti 1, 2,.... 10. Per questi punti si conducano dieci rette 

 (segnate nella figura con due lettere minuscole ab, ac, ecc.), rispettivamente paral- 

 lele alle dieci rette, che congiungono fra loro i cinque punti A, B, C, D, E. Queste 

 dieci rette passanti pei i } unti 1, 2,..., 10, costituiscono la figura derivata, e, per 

 quanto sopra si è detto, si tagliano a tre a tre in dieci nodi (1), (2),... (10). 



10. La retta che unisce fra loro due degli n punti, per es. A e B, può 

 essere riguardata come la base di n — 2 triangoli, aventi il vertice negli altri n — 2 

 punti. Ora siccome a tre rette formanti un triangolo coi vertici in tre degli n punti, 

 corrispondono nella figura derivata tre rette passanti per un punto, e la retta AB 

 è comune a tutti gli n— 2 triangoli qui considerati, ne viene che nella figura 



