29. Aggiungendo alle tre rette una quarta . una quinta e così di seguito, 

 si verrà in generale a conchiudere, che date essendo p rette diverse, le quali deb- 

 bano appartenere alla derivata, restano stabiliti p legami diversi fra i centri A', 

 B', C',... Per rette diverse dovranno intendersi rette tali, che la posizione di una 

 qualunque di esse non sia determinata ne direttamente ne indirettamente dalla po- 

 sizione delle altre in forza delia nota proprietà che le corrispondenti dei tre lati di 

 un triangolo della primitiva passano per un medesimo punto; e per legami diversi 

 quei legami, nessuno dei quali sia direttamente od indirettamente conseguenza de- 

 gli altri. 



30. Ora fra gli n centri A', B', C',... si possono stabilire tutt' al più n — 1 

 legami diversi; le rette diverse date non potranno adunque essere superiori di nu- 

 mero ad n — 1. Qualora esse siano n — 1 di numero, nessun' altra retta potrà es- 

 sere presa arbitrariamente, essendo allora ogn' altra retta determinata di posizione, 

 direttamente od indirettamente, dalla condizione che le derivate dei tre lati di un 

 triangolo, avente i vertici in tre dei punti della primitiva, devono passare per un 

 medesimo punto. Quando siano stabiliti n — 1 legami diversi fra gli n centri A', 

 B', C',... , uno di essi resterà ancora arbitrario: gli altri saranno necessariamente 

 determinati. Riassumendo adunque diremo: 



« Dato un numero di rette diverse non superiore ad n — 1 , si potrà sempre 

 costruire la figura derivata degli n punti A, B, C,... in modo che quelle rette ap- 

 partengano ad essa figura. Se le rette date sono n — 1 di numero, la figura deri- 

 vata resta totalmente determinata ». 



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31. Qui si presenta naturalmente la ricerca in quanti modi fra le — - 



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rette della figura derivata, se ne possano scegliere n — 1 , tali che esse siano rette 

 diverse nel senso sopra esposto. Questa ricerca coincide con quella di sapere in 

 quanti modi diversi possano collegarsi fra loro n oggetti, mediante n — 1 legami, 

 in modo da farne un solo gruppo collegato, e colla condizione che ogni legame non 

 riunisca più di due oggetti fra loro. Il numero di modi cercato è espresso da 

 Se dunque i punti A, B, C,... siano 2, 3, 4, 5, 6, 7,... le rette diverse potranno esser 

 scelte in 1, 3, 16, 125, 1296, 16807,... modi diversi. 



32. Osservazione sui fasci generatori e teorema relativo.— Noi abbiamo 

 supposto fin qui che le r ed r' fossero date, ed abbiamo veduto, che essendo as- 

 segnate n — 1 rette diverse, la figura derivata resta pienamente determinata; non 

 però la posizione dei centri A', B', C di cui uno resta sempre arbitrario. Va- 

 riando la posizione delle r ed r', e mantenendo quella delle rette diverse, si vede che 

 varierà la posizione dei centri A', B', C',..., non però quella della figura derivata. 

 Una stessa figura derivata; corrispondente ad n punti dati, può essere ottenuta in 

 infiniti modi diversi, variando la posizione delle parallele r ed r' e variando quella 

 di uno dei centri A', B', C\... Le rette r ed r' possono anche coincidere. 



33. Quando siano dati gli n punti A, B, C, ... e siano date n — 1 rette di- 

 verse della figura derivata, e si cerchi un sistema di centri A', B', C\ ... atti a pro- 

 durla, si potrà procedere come segue : Si tirino due rette parallele qualunque r 

 ed r', di cui la prima non passi per alcuno dei punti A, B, C,... Preso poscia un' 



