— 466 — 



d'intersezione delle rette a p , a q sia tirata una retta parallela a quella che unisce fra 



loro i due punti p e q presi sui raggi. Le n ^ — — rette così tirate s'interseche- 



. n(n— l)(w— 2) ,. 



ranno a tre a tre in — 5 — ' punti». 



2.3 * 



Si vede infatti che il punto 0, insieme ai punti 1,2,..., n, costituisce una 

 figura di n-*~ 1 punti. Le n rette a i , a s , a n non sono altro che n rette diverse 

 della figura derivata. Questa dunque sarà del tutto determinata e si potrà comple- 

 tare nel modo sopra indicato (u.° 35). La figura completata presenterà naturalmente 



71 ( 71 | \ ) 



i caratteri delle figure derivate; essa sarà composta cioè di — — rette, che 



s* intersecheranno a tre a tre in — ^-J— — punti o nodi. Se da questi nu- 



meri si escludono le n rette primitive date a 0 q t ,..., a n ed i loro punti 



d'intersezione (i quali a figura completa sono nodi) le rette si ridurranno ad 



n (n 1) n (n — 1) , . „. <n -+- l) n (n — 1 ) n(n — 1) 

 __ *= — , ed modi a — = 



n(n — 1) (n — 2) 



2~73 ' 



37. La proposizione superiore può anche esaminarsi sotto un altro aspetto. 

 Condotta per 0 una retta r, e tirata una r', parallela alla r, che tagli le rette 



rt 2 , a n nei punti A', B r , C, ... rispettivamente, si possono considerare i punti 

 1,2,..., n formanti una figura di n punti , con altrettanti fasci A, B, C, aventi 

 i loro centri in quei punti, ed i quali si tagliano tutti nella retta r. I punti k r , B', C',... 

 sono allora i centri dei fasci risp. omotetici: le rette che congiungono il punto 0 

 coi punti 1, 2, ... , n formano un gruppo di raggi corrispondenti , relativi ai fasci 

 A, B, C, ed un altro gruppo di raggi corrispondenti, relativi ai fasci A r , B', C, ... 

 formano pure le rette a l ,a i ,...,& n : questi ultimi raggi s'intersecheranno a due a 

 due in punti collocati nelle derivate delle rette, che uniscono fra loro in tutti i modi 

 gli n punti 1, 2, ... , n. 



38. Qui cade in acconcio di osservare che i gruppi di raggi corrispondenti 

 a, b, c, ... ed a', b', c', ... e le rette r ed r', che si ebbero finora spesso a conside- 

 rare possono essere riguardati come parte integrante rispettivamente delle due figure, 

 la primitiva cioè e la derivata, cosichè la primitiva sia composta degli n punti 

 A, B, C, ... , del gruppo di raggi a, b, c, ... , e della retta r; la derivata invece sia 



composta delle rette derivate, del gruppo dei raggi a',b',c',... e della 



Li 



retta r'. Prescindendo dalle rette r,r', questa considerazione equivale ad osservare, 

 che gli n punti A, B, C, ... ed il punto P preso nella r, costituiscono una figura di 

 n -+- 1 punti, la derivata della quale è formata dalle rette derivate relative agli n 

 punti A, B, C, ... , più il sistema di raggi a', b', c', ... Così i cinque punti conside- 

 rati al n.° 9 formano col punto P una figura di 6 punti, la cui derivata ha 20 

 nodi, cioè 1,2,..., 10; (1), (2),..., (10) (vedi la relativa figura). 



