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« Sia dato un poligono piano di n lati 1, 2, 3... , n — 1, n; e nello stesso 

 piano siano inoltre date n — 1 rette 1, 2, 3, ...,n — 1, rispettivamente parallele ai 

 primi 7i—l lati del poligono. Da un puuto o polo, mobile nel piano (seuz' alcuna 

 restrizione), s' intendano projettati i vertici del poligono dato. Ora s' immagini un 

 poligono variabile di n lati, i primi n — 1 vertici del quale 1, 2, 3,... ,n — 1 deb- 

 bano trovarsi ordinatamente nelle rette date omonime, mentre gli n lati (n . 1), 

 (1.2), (2.3),..., (n — 1 . n) debbano essere paralleli ai raggi che dal polo ptojet- 

 tano i vertici omonimi del poligono dato. Il punto di concorso di due lati qualsi- 

 vogliano (r . r -+- 1) , (s . s -t- ]) del poligono variabile cadrà in una retta deter- 

 minata, parallela alla diagonale fra i vertici (r . r 1) , (s 1) del poligono dato ». 



Si vede tosto che il dato poligono piano di n lati , ed il polo mobile costi- 

 tuiscono una figura di n -+~ 1 punti, analoghi agli n punti che formano V oggetto 

 delle precedenti considerazioni. Le ti — 1 rette date nel piano del poligono deter- 

 minano completamente la figura derivata (n.° 30) relativa agli n punti di esso po- 

 ligono. Il poligono (moltilatero) variabile è quello relativo al polo, ossia aH'(n-+- l) mo 

 punto. I vertici di questo poligono (moltilatero) sono nodi, e cadono necessariamente 



nelle rette della figura derivata relative agli n punti del poligono dato. 



43. Tanto il teorema ora esposto , come anche la proposizione superiore, 

 n.° 36, possono compendiarsi nel seguente teorema , che li comprende ambedue, e 

 nel quale l'espressione rette diverse è usata nel senso sopra indicato, n.° 29. 



« Quando siano dati, o sieno presi, n punti A, B, C, , e sia dato un nu- 

 mero 77i <^n — 1 di rette diverse della figura derivata, si possono prendere ad 

 arbitrio altre n — m — 1 rette diverse, e completare la figura. » 



La figura completata presenterà naturalmente tutte le proprietà , che formano 

 oggetto di quei teoremi. 



44. Dimostrazione elementare del teorema esposto dal Sig. Cremona; e nuovo 

 modo di sviluppare la teoria delle figure. — Kelativamente al teorema superiore n.° 42 il 

 prof. Cremona nella memoria citata fa l'osservazione, che la dimostrazione del medesimo 

 per mezzo della sola geometria piana non pare ovvia. Non sembra quindi fuor di luogo 

 il soggiungere qui una dimostrazione elementare del teorema stesso fatta per mezzo 

 della geometria piana; dimostrazione che prestasi anche per la proposizione del n.° 36. 



Sia ABCD (fig. 4) un quadrilatero qualunque, e si tirino per i punti A e B 

 le AP, BE, rispettivamente parallele alle diagonali GB, DA, fino ad incontrare in 

 E ed P i lati CA, DB prolungati. Si congiunga poi il punto E col punto F. La EP 

 sarà parallela alla CD. 



Prolungati infatti i lati CA, DB fino al loro incontro in G, saranno simili i 

 due triangoli CAD, GEB, ed i due GCB, GAF, e daranno le due proporzioni. 



GA : GD = GE : GB GA : GF = GC : GB 



nelle quali essendo eguale il prodotto degli estremi, sarà eguale anche quello dei 

 medi, ed avremo GE : GF = GC : GD, cioè il triangolo GEP sarà simile al trian- 

 golo GCD, e quindi la EP parallela alla CD (1). 



(1) È il noto teorema di Pappo sull'esagono ADCBEF. 



