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Questo teorema implica il seguente: a ) Se in un quadrilatero qualunque ABCD 

 si tiri la AF, parallela a OB, e si prolunghi la BD fino ad incontrare la AF in F, 

 e si tirino poscia per B e per F due rette BE , FE rispettivamente parallele alle 

 DA, DC, il punto d'incontro E cadrà nel prolungamento del lato AC. 



E questo può anche presentarsi come segue: b). Se in un quadrilatero qua- 

 lunque ABCD si prolunghi il lato DB verso F, e tirata AF, parallela a CB , si 

 conducano per i tre punti A, B. F tre rette rispettivamente parallele alle tre CA, 

 DA, DC, queste tre rette passeranno per uno stesso punto E. 



Da queste proposizioni si passa facilmente alla seguente: c) sia dato un trian- 

 golo , coi lati 1, 2, 3 (fig. 5), e nello stesso piano siano date due rette AF , AB 

 rispettivamente parallele ai primi due lati del triangolo. Da un punto qualunque 0, 

 mobile nel piano, si projettino i vertici del triangolo. Ora s'immagini un triangolo 

 variabile, i primi due vertici del quale 1 e 2 debbano trovarsi rispettivamente nelle 

 AF, AB date, mentre i tre lati (3 . 1), (1 . 2), (2 . 3) debbano essere paralleli ai 

 raggi che dal punto 0 projettano i vertici omonimi del triangolo dato. Il punto di 

 concorso dei due lati (1 . 3), (2 . 3) del triangolo variabile cadrà nella retta AE 

 condotta per A, e parallela al terzo lato del triangolo dato. 



Sia infatti 0 una delle posizioni del punto mobile 0, ed il triangolo 123 una 

 delle posizioni del triangolo variabile che vi corrisponde. Prolungata la EA verso C, 

 e la 12 verso D, e tirate per A e per 2 le AD, 2C, rispettivamente parallele a 32, 1A, 

 avremo un quadrilatero ACD2, il quale è simile ad LNOM , ed il quale , come è 

 facile vedere, cade nel caso sopra contemplato a). 



Ed alla seguente: d) si prendano in un piano tre rette (fig. 6) a t , a t , a s , e 

 per un punto 0 dello stesso piano si tirino tre raggi 01, 02, 03, paralleli rispet- 

 tivamente ad esse rette: si prendano poscia su questi raggi tre punti 1, 2, 3, uno 

 per- ogni raggio omonimo, e si conducano finalmente per i punti A, B, F, nei quali 

 le rette a v a t , a 3 , s'intersecano fra loro, tre rette rispettivamente parallele ai tre 

 lati (1 . 2), (1 . 3), (2 . 3) del triangolo 123. Queste tre rette s'intersecheranno 

 fra loro in uno stesso punto E. 



Prolungate infatti le FB, EA verso D e C, e tirate le BC, AD, rispettiva- 

 mente parallele alle EB, FA, avremo un quadrilatero ABCD, che è simile ad 0123, 

 e che ricade nel caso della superiore proposizione b). 



In base alla proposizione c) si dimostra ora facilmente il teorema generico, 

 relativo ad un poligono, citato sopra al n.° 42. Basta osservare che una posizione 

 qualunque del punto o polo mobile nel piano, insieme a tre vertici qualunque del 

 poligono dato, e che chiameremo L, M, N costituiscono un quadrilatero, analogo a 

 quello LMNO contemplato sopra (fig. 5), mentre le tre rette parallele ai tre lati 



del triangolo LMN, siano esse in parte fra le n — 1 date 1, 2, 3, , n — 1, o fra 



le parallele alle diagonali del poligono , costituiscono un gruppo di tre rette con- 

 correnti in un punto, e sono analoghe alle Al, A2, A3 della proposizione c). 



Con un simile ragionamento si potrà far servire la proposizione d) alla dimo- 

 strazione del teorema generico sopra esposto n.° 36. 



45. Osserveremo intanto che il quadrilatero ABEF (fig. 4) non è. che la figura 

 derivata relativa ai quattro punti A, C, D, B. 



