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Similmente dicasi del quadrilatero A213(fig. 5) rispetto ai quattro punti A, C,D, 2, 

 oppure ai quattro L, N", 0, M; e così del quadrilatero ABEF (fig. 6) rispetto ai 

 quattro punti A, B, C, D, oppure ai quattro 0, 1, 2, 3. 



La fig. 4 può essere considerata come fondamentale in questa teoria delle 



figure derivate da h punti A, B, C, , qualora questa teoria si volesse sviluppare 



(e si può farlo) prescindendo affatto dai fasci , qui considerati come generatori 

 della figura derivata; e senza ricorrere alla geometria dello spazio. 



Si può infatti definire come figura derivata di un triangolo (cioè di tre punti 

 e delle tre rette che li còngiungono) l'insieme di tre rette passanti per un punto 

 e parallele ai tre lati del triangolo ; e come figura derivata di un poligono com- 



pleto di n punti, il complesso di — ^— rette parallele a quelle che uniscono 



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fra loro in tutti i modi gli n punti, e tali che ai tre lati di un triangolo avente 

 i vertici in tre degli n punti , corrispondano tre rette parallele ad essi lati , pas- 

 santi per uno stesso punto. In tal modo la proposizione del n.° 7 sarebbe presa 

 per definizione, e dovrebbesi anzitutto dimostrare che una tale figura per n punti 

 è possibile. A ciò può servire una delle fig. 4 , 5 o 6. Se ne può infatti dedurre, 

 che essendo dati tre punti, e la rispettiva figura derivata, il che è evidentemente 

 sempre possibile, si può aggiungere un quarto punto, e completare la figura deri- 

 vata relativa a tutti quattro. Con simile processo si giunge facilmente a dimostrare, 

 che se una figura derivata per n punti è possibile, essa è possibile anche per nn-1. 

 Dimostrata così la possibilità di una figura derivata corrispondente alla data defi- 

 nizione, si possono , partendo dalla definizione stessa, sviluppare tutte le proprietà 

 ad essa spettanti senza aver ricorso ai fasci. 



46. Ulteriori proprietà e teoremi. — Bitornando ora alle considerazioni dei 

 num. ri 39 e 40, osserveremo , che quando si supponga mobile uno degli n punti, 

 per es. A , e che esso si porti in linea retta , sia verso un altro degli n punti, 

 per es. B, sia verso un punto qualunque M, le proposizioni colà esposte sussistono 

 solamente qualora si supponga, che per ogni posizione K, che il punto A prende 

 nel suo cammino rettilineo, la retta che congiunge il punto K colla posizione ini- 

 ziale di A , abbia per corrispondente nella figura derivata costantemente la mede- 

 sima retta, parallela ad AB, o ad AM. Supponiamo ora che a tale supposizione 



non si soddisfi, e, diviso il cammino rettilineo AM in m parti AK, , K, K s , , 



K m _ j M, si conducano nella figura derivata m rette A, M, , A, M, , , A„, M m , 



tutte parallele alla AM, e disposte collo stesso ordine con cui sono disposti i 

 punti K, , K a , ..... , lungo la AM. Si faccia ora muovere il punto A da A verso M, 



in linea retta, in modo ch'egli percorra successivamente i tratti AK, , K, K 2 , 



e stabiliscasi che ad ognuno di questi tratti corrisponda nella figura derivata la 

 retta parallela omonima. Applicando allora ad ogni singolo tratto la proposizione 

 del n.° 40, potremo dire, che nella figura derivata i lati del moltilatero corrispon- 

 dente al punto A ruoteranno intorno a punti fissi collocati nella A, M, , mentre il 

 punto A percorre il tratto AK,; ruoteranno poi intorno a punti fissi collocati nella 

 A S M 4 , mentre il punto A percorre il tratto K, K 2 , e così di seguito. Prendendo 

 considerare ano qualunque dei lati del moltilatero mobile corrispondente al punto A , 



