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sistema di n -+- 2 punti, di cui uno, il punto A, è mobile. La curva L da lui per- 

 corsa è il primo circolo; la curva N è ridotta ad uu punto, il centro 0 del se- 

 condo circolo. Le curve dunque sono collineari, in posizione prospettiva, ed essendo 

 il secondo circolo una di esse curve, non potranno essere che curve coniche. Ogni 

 retta passante per 0 taglierà dunque da un lato tutto le coniche ed il circolo col 

 centro 0, il quale è una di esse, in n -t- 1 punti : le n -+■ 1 tangenti condotte per 

 questi punti daranno una delle posizioni del poligono mobile. I punti d' intersezione 

 di queste tangenti, prese a due a due, cadono in rette parallele ai lati del poligono 

 fatto dagli n -+- 1 punti 1,2, , n , C , ed alle sue diagonali. Questa osserva- 

 zione facilita la costruzione del poligono variabile, quando alcuno de' suoi vertici 

 prende una posizione incommoda per la costruzione grafica. Se per A si tira una 

 tangente t al primo circolo, e per 0 un raggio parallelo a t , gli angoli d'interse- 

 zione di questo raggio colle coniche sono eguali rispettivamente agli angoli fatti 



dalla t coi raggi emananti da A. Conducendo da quelli degli n punti 1,2, , n, 



che sono esterni al primo circolo, due tangenti allo stesso, si avranno le direzioni 

 degli assintoti della relativa iperbola, ecc. 



Si noti infine che ad un punto di contatto del lato a dell'angolo retto col primo 

 circolo, corrispondono due punti di contatto dal lato b col secondo circolo. Ne 

 viene che si avranno due gruppi distinti di coniche, le quali corrisponderanno 

 al teorema superiore, e ciò secondochè si sceglierà l'uno o l'altro dei due punti di 

 contatto spettauti al lato b. Una simile osservazione è da farsi relativamente al 

 teorema del n.° 49, per il quale due sono i punti E d'intersezione col circolo avente 

 il centro in A. Secondochè si prende l'uno o l'altro si avrà un diverso sistema di 

 due elissi. 



53. Alcuni casi particolari. — Fin qui si sono considerate le figure in 

 questione sotto un aspetto generale. Facendo delle supposizioni particolari relativa- 

 mente alla posizione degli n punti A, B, C, , gli uni rispetto agli altri , o 



rispetto alla posizione rispettiva delle rette che devono appartenere alla figura de- 

 rivata, si potranno dedurre altre proprietà delle figure qui considerate. 



54. Tre punti A, B, C, posti in linea retta danno luogo in generale a tre 

 rette parallele. Nella fig. 7 A, B, C rappresentano i tre punti , ed A', B', C, i 

 centri dei rispettivi tre fasci omotetici, posti nella /, parallela alla r. Preso un 

 punto P qualunque sulla r, e tirati i tre raggi corrispondenti PA, PB, PC si con- 

 ducano per i punti A', B\ C le tre rette A' L, B' G, C K rispettivamente paral- 

 lele a' quei raggi, e per i tre punti d'intersezione I, G, K si tirino tre rette m 1 , 

 m ì , m ) , parallele alla ABC. Queste rette possono riguardarsi come rispettivamente 

 corrispondenti alle tre AB, AC, BC, le quali coincidono nella stessa retta ABC. 

 Al triangolo ABC, i cui lati son distesi nella stessa retta ABC, corrisponde il nodo 

 a distanza infinita, in cui s'incontrano le m l , w a , m, . 



Si tiri PO normale ad ABC, si conducano LE, IKF normali alle m, , m 1 , m t . 

 Saranno i tre triangoli AOP, COP, BOP rispettivamente simili ai tre LIK, KGF, 

 LGE, e si avrà facilmente la proporzione 



AB : BC : AC = KF : IK : IF 

 Da quanto precede si vede che date due vette m ed m" parallele ad ABC si 



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