potranno scegliere i tre fasci A', B r , C in modo che due qualsivogliano delle tre 

 rette m l , ??i 2 , m ì coincidano colle due m , m" ; la terza retta però avrà allora 

 necessariamente una posizione determinata. Si potrà anche porre la condizione che 

 m' ed m" coincidano in una sola retta , nel qual caso , in forza della proporzione 

 esposta, tutte tre le rette m 1 , m 2 , m 3 coincideranno in una stessa retta. 



55. Se gli n punti A, B, C, sono tutti in una stessa linea retta , la 



figura derivata sarà costituita in generale da — rette parallele, delle quali 



2 



n — 1 potranno essere date a piacere, mentre le residue — ^ — avranno 



una posizione determinata: questo risultato si accorda con quanto sopra venne esposto 

 ai numeri 30 e 32. 



Se le n — 1 parallele, date a piacere, coincidono con una data retta mi, tutte 



le 1 rette coincideranno colla mi. Questa coincidenza è sempre possibile; 



Li 



per cui si potrà stabilire, che se i punti A, B, C, siano in linea retta, i centri 



A', B', C, possono sempre scegliersi in modo, che tutta la figura derivata si ' 



riduca ad una data retta m\ parallela alla ABC 



56. Abbiamo sopra osservato, n.° 30, che la figura derivata relativa ad un 

 certo numero n di punti, è completamente determinata, qualora ne siano date di 

 posizione n — 1 rette diverse. In questo caso diremo per brevità che quelle rette 

 diverse collegano quegli n punti. 



Supponiamo ora che p — 1 rette diverse, spettanti alla figura derivata , colle- 

 ganti p degli n punti, passino tutte per un medesimo punto M. In tal caso la 

 derivata della retta che unisce due qualunque dei p punti fra loro, passerà anche 



essa per il punto M. Siano infatti P, Q, E, S, i p punti collegati , e siano le 



rette diverse parallele rispettivamente a PQ, QB, ES, Siccome le derivate di 



PQ e di QB passano per M, vi passerà anche la derivata di PB, lato del trian- 

 golo PQB: passando per M le derivate di PB e di BS, vi passerà pure la derivata 

 di PS; e così seguitando si vedrà , che ima retta qualunque , che unisce fra loro 

 due dei punti P, Q, B, S, ha una derivata passante per M. Per questo punto M 



dunque passeranno ^— — rette, cioè quante vi sono nel poligono completo di p 



punti. Inoltre in questo poligono vi sono - ^ ~~ ^ — triangoli, ai quali de- 



vono corrispondere altrettanti nodi: ora siccome le derivate delle tre rette che co- 

 stituiscono uno qualunque di quei triangoli passano tutte tre per M, cosi in M si 

 troveranno pure tutti i nodi relativi al poligono dei p punti. 



Se per lo stesso punto M passassero pure altre q — 1 rette diverse, colleganti 



altri q punti, se ne dedurrebbe che per M devono passare - — — rette , e che 



z 



in esso trovatisi — ^ — nodi, oltre quelli relativi ai p punti. E così 



2 . 3 



di seguito 0 



