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57. Il punto M potrà dirsi un nodo multiplo , qualora in esso siano con- 

 centrati più nodi semplici, intendendo per nodo semplice quello formato da tre rette. 

 Per un nodo multiplo vale la stessa osservazione fatta per il nodo semplice al n.° 8, 

 relativamente a quelle rette che passassero per il nodo multiplo , ma per le quali 

 esso non è un nodo. Avuto adunque riguardo alla possibiltà dei nodi multipli , potrà 

 esporsi in modo più generale la proposizione del n.° 13 dicendo: 



« Ad un gruppo di rette spettanti alla figura derivata e concorrenti in un 

 punto , che sia un nodo per ognuna di esse, corrispondono nella primitiva uno o 

 più poligoni. » 



58. Relazioni di reciprocità. — Se fra le ri — 1 rette che concorrono in 



uno dei punti A, B, C, , se ne considerano solamente un numero p < n — 1, 



le corrispondenti di queste p formano nella derivata un moltilatero completo di p 

 lati, per cui la proposizione del n.° 12 può esprimersi più generalmente dicendo: 



« A p rette concorrenti in uno degli n punti A, B, C, , essendo p < n — 1, 



corrisponde nella figura derivata un moltilatero completo di p lati. » 



Questa proposizione vale però solamente per quelle rette che uniscono uno de- 

 gli n punti A, B, C,..., per es. A, cogli altri, e non per quelle rette, che unendo 

 due degli altri punti fra loro passassero anche per il punto A. Per il punto A in- 

 fatti possono passare , oltre alle n-1, rette che lo congiungono con gli altri punti, 

 anche delle altre rette, le quali congiungendo fra loro altri punti all' infuori di A, 

 passano per il detto punto per disposizione speciale della figura. Questa osservazione 

 è affatto analoga a quella fatta superiormente ai n. 1 8 e 57, relativamente a quelle 

 rette , che passano per un punto, il quale è un nodo per altre rette, ma non per 

 esse. Egli è perciò che potremo chiamare nodi anche gli n punti A, B, C,... 



59. Qualora due o più dei punti A, B, C,... si avvicinino fra loro fino a 

 confondersi in un solo punto , questo punto diverrà multiplo. In tal caso tutte le 

 rette, che congiungono questo punto multiplo cogli altri, dovranno intendersi pure 

 multiple, e le loro corrispondenti nella figura derivata saranno rette parallele. Per- 

 ciò ad un numero p di rette concorrenti in un tale punto multiplo, e per le quali 

 esso sia un nodo , corrispondono in generale più moltilateri completi diversi nella 

 figura derivata. 



60. In seguito a queste considerazioni si vede che le proposizioni dei nu- 

 meri 12, 13, 57 e 58 possono riassumersi in quest' unica : 



« A rette dell' una figura concorrenti in un nodo comune a tutte , corrispon- 

 dono nell' altra figura uno o più poligoni o moltilateri completi. » 



Questa proposizione stabilisce una specie di reciprocità fra queste figure. Que- 

 sta reciprocità però non è completa in questo senso , che a rette della primitiva 

 concorrenti in un nodo comune a tutte , corrisponde nella derivata un moltilatero 

 completo , mentre a rette della derivata concorrenti in ua nodo comune a tutte, 

 corrisponde nella primitiva un poligono completo. La reciprocità invece diventa com- 

 pleta per le figure ridotte più avanti contemplate ; vedi n.° 80. 



61. Le considerazioni seguenti possono riguardarsi come relative alla reci- 

 procità sopra indicata di queste figure, mentre appianano la via alla soluzione del 

 problema , elio qui naturalmente si presenta di ripassare dalla figura derivata alla 



