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lunghezza fra due qualunque dei tre lati del triangolo relativo a quel nodo. Qualora 

 dunque sia data la direzione di due delle tre rette, che formano un nodo semplice, 

 e il rapporto della lunghezza dei lati corrispondenti del triangolo, anche la direzione 

 della terza retta riuscirà determinata. 



69. Confronto col metodo dei poliedri reciproci. — La reciprocità fra i dia- 

 grammi considerati, quale risulta dal procedimento esposto per passare dall' uno al- 

 l' altro, è del tutto analoga a quella che risulta dal considerare i diagrammi stessi 

 come projezioni ortografiche di due poliedri reciproci, quali vennero considerati dal 

 prof. Cremona nella memoria più volte citata. Qualora infatti si voglia dal dato si- 



7% ( ?! ~~ 1 ) 



stema di n punti A, B, C,... e delle — — rette che li congiungono, passare alla 



a 



figura derivata mediante il sistema polare reciproco in questione, bisogna immagi- 

 nare altri n punti nello spazio, situati nelle normali al piano della figura, elevate 

 dagli n punti dati. Allora nel sistema polare reciproco del quale qui si fa uso, ad 

 ognuno dei punti dello spazio corrisponde un piano passante per esso punto : alla 

 retta che congiunge due punti nello spazio corrisponde l'intersezione dei piani cor- 



rispondenti ai punti congiunti. Alle rette congiungenti fra loro gli n punti 



'Yh [7% 1 1 \ ) 



dello spazio corrispondono adunque altre — rette , le quali, attesa la spe- 



2 



ciale posizione del sistema polare reciproco rispetto al piano su cui si fa la pro- 

 iezione, si proietteranno in esso piano in altrettante rette parallele a quelle che 

 congiungono fra loro gli n punti dati A, B, C,.... Ai tre lati del triangolo formato 

 da tre punti nello spazio, i quali lati quindi si trovano in uno stesso piano, corri- 



n (n — 1) 

 2 



n (n — 1) (n — 2) 



27ÌÌ 



punti. Alle n — 1 rette che congiungono uno dei punti dello spazio cogli altri 

 punti , corrispondono n — 1 rette reciproche situate nel piano reciproco di quel 

 punto ; queste rette proiettate daranno un moltilatero completo di n — 1 lati, in- 

 ] \ i n 2) 



tersecantisi in punti, situati nelle altre rette proiettate. 



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70. Gli n punti dello spazio possono considerarsi come vertici di un po- 

 liedro, ma in tal caso è bene tener d' occhio, che ad ogni retta congiungente due 

 vertici, e ad ogni triangolo formato da tre vertici, spettano le stesse proprietà, 

 sia che quella retta sia uno spigolo del poliedro, sia che De sia una diagonale; 

 sia che quel triangolo sia una faccia esterna del poliedro, sia che trovisi entro 

 il solido. In tal senso si potrà dire che il poliedro costituito dagli n punti è dotato 



di n angoli solidi, in ognuno dei quali concorrono n — 1 spigoli, e di — Jzi^ -) 



facce triangolari. Il poliedro reciproco avrà n facce moltilatere di n — 1 lati eia- 

 n (n — 1) (n — 2) 



scuno, ed — — angoli triedri. Se colle espressioni poliedro completo, 



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spondono tre rette reciproche passanti per uno stesso punto di esso piano; le 

 rette reciproche proiettate s'intersecheranno adunque a tre a tre in 



