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molti} 'acetato completo (analoghe alle espressioni poligono completo, moltiiatero com- 

 pleto) s' intenda rispettivamente più punti nello spazio e l' insieme dei piani da 

 essi determinati ; e più piani nello spazio e l' iusieme dei loro punti d' interse- 

 zione, potrà dirsi che ad un poliedro completo di n vertici corrisponde un molti- 

 facciato completo di n facce. Queste figure dello spazio precettate nel piano orto- 

 grafico danno allora origine alle stesse figure delle complete , che si ottengono 

 coli' intersezione dei fasci. La reciprocità delle figure dello spazio è soggetta ad 

 una simile restrizione a cui sono soggette le figure piane (n.° 60). Questo modo 

 di considerare le figure nello spazio è più conforme allo spirito della geometria 

 superiore (projettiva). Sopprimendo rette e piani (in parte), o la loro prolungazione 

 oltre i vertici e gli spigoli , si ottengono dei poliedri che potrebbero chiamarsi 

 ridotti, quali furono considerati dal Sig. Cremona, e per i quali la reciprocità è 

 completa, come per le figure piane ridotte (n. ! 73 e segg. ed 80). Il sistema polare 

 reciproco si presta pure con eguale facilità alle considerazioni relative ai nodi mul- 

 tipli. Supponendo che gli n punti dello spazio siano presi in uno stesso piano , la 

 figura reciproca si riduce ad un fascio di rette passanti per un punto. 



71. Noteremo che la stessa indeterminazione, che ha luogo nella scelta dei 

 fasci generatori per passare dall'una all'altra delle due figure, ha luogo pure quando 

 si faccia uso di un sistema polare reciproco, invece dei fasci. Infiniti infatti sono i 

 sistemi polari reciproci , mediante i quali da un diagramma si può passare al suo 

 reciproco dato. Ad un medesimo punto dello spazio corrisponde un diverso piano pas- 

 sante per quel punto, secondo il sistema polare reciproco che si assume: i poliedri 

 reciproci adunque, che colla loro projezione ortografica danno i diagrammi desiderati, 

 possono variare all'infinito. Con un medesimo sistema polare reciproco si possono otte- 

 nere infinite figure derivate relative ad n punti A, B, C,... , dati nel piano. Infatti per 

 un punto dato nel piano si può considerare come suo corrispondente nello spazio uno 

 qualunque della normale al piano elevata da quel punto. Vi sono dunque infiniti poliedri 

 nello spazio i cui vertici si projettano nei punti A, B, C .. , e variando poliedro si varia 

 la figura derivata, sebbene il sistema polare reciproco di cui si fa uso resti il medesimo. 



Simili osservazioni possono farsi qualora data nel piano una figura derivata si 

 tratti di ottenere la primitiva col mezzo di un sistema polare reciproco. Affinchè ad 

 ognuno dei moltilateri completi di n — 1 lati costituenti la derivata , corrisponda 

 nella primitiva un fascio di n — 1 rette passanti per un punto, bisogna che i punti 

 nello spazio corrispondenti ai vertici di un moltiiatero completo di n — 1 lati siano 

 scelti tutti in un piano. In generale la scelta nello spazio dei punti corrispondenti 

 ai vertici della derivata, fatta in modo da ottenere la primitiva figura di n punti, 

 dà luogo ad una ricerca analoga a quella fatta sopra , n. J 65 e 66, per determinare 

 i centri dei fasci, che riproducono la primitiva. 



72. Si può fare anche un' osservazione simile a quella fatta sopra al n.° 67 

 nel ripassare dalla figura derivata alla primitiva. Nel poliedro reciproco dotato di n 

 facce moltilatere di n- — 1 lati, possono infatti considerarsi anche le diagonali. Le 

 reciproche di queste diagonali saranno rette passanti per gli n punti reciproci dello 



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spazio, diverse dalle — - rette, che li congiungono fra loro -; anche nella prò- 



