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poligono aperto, ottenuto dalla derivata dei sette punti A, B, Gr. Esso compo- 

 nesi dei quattro lati o rette interne ad, ac, ab, ae, corrispondenti rispettivamente 

 alle AD, AC, AB, AE, e delle sette rette esterne af, df, ed, bc, be, ag, eg, corri- 

 spondenti alle omonime della primitiva. Se le figure fossero complete avrebbero 

 ognuna 21 retta; in ogni figura si sono dunque soppresse 10 rette. Nella derivata 

 completa vi sarebbero 35 nodi, dei quali 5 sono conservati, gli altri soppressi. In 

 ambedue le figme le rette sono prolungate abbastanza da rendere visibili i poligoni 

 relativi ai nodi. 



83. Nel caso che vi siano nodi multipli la figura potrà presentare l'aspetto 

 reticolare, con rette esterne che mettono capo ai punti (nodi) del contorno. La fig. 11 

 mostra un diagramma ridotto MN, derivato da 10 punti; i nodi (1), (4) sono sem- 

 plici, i (3), (6) sono quadrupli e corrispondono ai quadrilateri ALGDA, BIHCB della 

 primitiva ; i due nodi (2), (5) sono decupli e corrispondono ai pentagoni BILGEB, 

 ALIEPA della primitiva. Siccome 10 punti danno luogo a 45 rette tanto nella pri- 

 mitiva che nella derivata, si vede che sono state soppresse tanto nella primitiva che 

 nella derivata 30 rette, e nella derivata 90 nodi. Nella derivata furono segnate da 

 nodo a nodo le rette interne: le rette esterne invece sono segnate indeterminatamente, 

 cosichè non sono più nella derivata direttamente visibili i vertici dei poligoni corri- 

 spondenti ai nodi della primitiva. 



84. Considerando queste figure derivate colle primitive corrispondenti osser- 

 veremo che : 



« Ad una retta interna nella figura derivata corrisponde nella primitiva un lato 

 comune a due poligoni. » 



Siccome infatti la retta interna mette capo a due nodi, così la sua corrispondente 

 dev' esser lato tanto del poligono relativo ad un nodo, come del poligono relativo al- 

 l' altro nodo. Ora nella figura derivata che consideriamo, tutti i nodi sono riuniti fra 

 loro da rette interne; dunque un poligono qualunque della primitiva, relativo ad un 

 nodo N della derivata, avrà uno o più lati comuni con quello o quei poligoni, che 

 sono relativi ai nodi, con cui N è riunito dalla retta o dalle rette interne. Siccome 

 poi due nodi non possono essere riuniti direttamente fra loro da più di una retta in- 

 terna, così due poligoni della primitiva, relativi a due nodi della derivata, non po- 

 tranno mai avere più di un lato comune ; ne questo lato potrà essere comune a più 

 di due poligoni , mentre una stessa retta interna non può riunire più di due nodi. 

 I due vertici congiunti dal lato comune sono pure comuni. 



85. Ora se si abbiano più poligoni semplici (nessuno dei cui lati sia nullo), 

 ognuno dei quali abbia un solo lato comune con un altro, in modo che siano comuni 

 anche i due vertici spettanti a quel lato, ed ogni lato comune non sia comune che 

 a due soli poligoni, cosichè ne risulti un gruppo di poligoni così collegati fra loro, 

 e si sopprimano tutti i lati comuni , i lati residui formeranno un poligono chiuso. 

 I lati di questo poligono si succederanno con ordine determinato, ossia, in altre pa- 

 role, il poligono chiuso formato dai lati non soppressi non avrà mai tre o più lati 

 concorrenti in uno stesso vertice. Dunque: 



« Le rette della figura primitiva corrispondenti alle rette esterne della derivata 

 formano un poligono chiuso, i cui lati si seguono con ordine determinato. » 



