— 484 — 



86. // pcligono chiuso corrispondente alle rette esterne: ricerche e teoremi. — 

 Supponiamo ora che sia data la figura derivata, e che si voglia, senza ricorrere alla 

 primitiva, determinare l' ordine col quale nella primitiva si succedono i lati del po- 

 ligono corrispondente alle rette esterne, le quali mettono capo ai nodi. Osserveremo 

 anzitutto che il perimetro di un poligono si può sempre percorrere in due sensi op- 

 posti : intenderemo dunque che l'ordine in cui si succedono i lati sia trovato, quando 

 si assegni quali lati s'incontrano uno dopo l'altro percorrendo il poligono in uno dei 

 due sensi. 



Ciò premesso bisogna anzitutto distinguere se nella data derivata i lati dei po- 

 ligoni relativi a rette concorrenti in un nodo della primitiva siano segnati completa- 

 mente da vertice a vertice e non oltre : oppure se le rette interne siano bensì segnate 

 da nodo a nodo, ma le rette esterne lo siano solo indeterminatamente, in modo che i 

 vertici di quei poligoni non siano direttamente visibili. 



87. Nel primo caso possono farsi le seguenti osservazioni. Si consideri il po- 

 ligono chiuso formato da quelle rette della primitiva , che corrispondono alle rette 

 esterne della derivata. In uno dei vertici di questo poligono, per es. in A, mettono 

 capo due o più rette. Quando vi mettono capo due sole rette, per es. a' e b', esse 

 non possono essere che due lati successivi del poligono stesso, e nello stesso tempo 

 lati successivi di un altro poligono corrispondente ad uno dei nodi della derivata (che 

 supporremo avere più di un nodo a cui mettono capo rette esterne). Dunque nella 

 derivata le due rette esterne a e b corrispondenti di a' , b' metteranno capo ad uno 

 stesso nodo. Quando invece in A mettono capo altre rette oltre le a', V , nella derivata 

 vi sarà un poligono semplice chiuso, formato delle a , b corrispondenti delle a', b r , e 

 delle corrispondenti delle altre rette. In questo poligono semplice chiuso le rette 

 esterne a e b formeranno due lati successivi, incontrantisi in un vertice M. Infatti se 

 non fossero successivi dovrebbero esservi frammezzo una o più rette esterne od in- 

 terne. Ora, rette esterne non vi possono essere, poiché allora il poligono avrebbe più 

 di due rette esterne nel suo contorno , e quindi nella primitiva vi sarebbero più di 

 due rette corrispondenti alle esterne e concorrenti nel punto A, ciò che renderebbe 

 indeterminato 1' ordine dei lati del poligono formato dalle corrispondenti delle rette 

 esterne (n.° 85). Ne vi possono essere rette interne, poiché i punti estremi delle in- 

 terne sono nodi, ed allora le a e b non sarebbero più rette esterne. M non potrà poi 

 essere un nodo ne per a nè per b, altrimenti queste rette non sarebbero esterne: dun- 

 que per Ivi, oltre le a e & non passeranno altre rette se non accidentali. Per i vertici 

 del poligono attigui ad M inv§ce passeranno certamente altre rette, mentre quei due 

 vertici sono nodi, a cui appartengono rispettivamente le due rette a e b, che si consi- 

 derano. Da tutto ciò si vede che una retta esterna a viene incontrata dalla sua suc- 

 cessiva b, o nel nodo comune ad a e b, se a e b abbiano un nodo comune, oppure, 

 quando non abbiano nodo comune, in un punto M, al quale non mettono capo altre 

 rette oltre le a e b, se non accidentali. Ora la a' mette capo non solo nel vertice A, 

 ma anche nel vertice B, contiguo ad A, e nel quale deve pure metter capo il lato c', 

 successivo ad a' nel vertice B. Dunque uella a, corrispondente di a, vi sarà inoltre un 

 punto N, nel quale essa s' incontra colla c, corrispondente della c', e per il quale non 

 passano altre rette se non accidentali. Siccome poi la a' mette capo unicamente ai 



