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soddisfanno a queste condizioni, basta differenziare le equazioni di equilibrio dei ver- 

 tici ritenendo costanti le forze esterne. Così si ottengono le equazioni. 



2sSXcosa = 0 , 2sdXcos/3 = 0 , 2s5Xcosy = 0. (5) 

 Or moltiplichiamo la prima di queste equazioni per a, la seconda per b, la terza per c 

 e facciamo lo stesso per tutte le equazioni analoghe alle (5); sommiamole quindi fra loro 

 e colla (3), ed osserviamo che per esempio X,j, 5X 4 ; (denotando con i, j due vertici 

 qualunque) entrano due volte, una volta pel vertice i e V altra pel vertice j , per 

 cui, ove si avverta che 



cosoCij -t- cosocji == 0 , cosfiij -t- cosftjj = 0 , cosyij -+- cosjji = 0 , 

 dall' eguagliare a zero il coefficiente di SXij , nascerà 



'aj lij = — Sij [(aj — a ; ) cosa,] -+- (bj — b;) cosfrj -+- (oj — c<) easy*/]. (6) 

 Con ciò le tensioni (o pressioni) t ; j restano espresse per mezzo di Sn indeterminate 

 a, b, c. Ma dal momento, che le a non entrano che per le loro differenze, e simil- 

 mente le b e le c. così ne segue che, senza alterare queste differenze, due delle a pos- 

 sono scegliersi ad arbitrio, due delle b e due delle c, dimodoché in sostanza le t is 

 non restano espresse che per mezzo di Sn — 6 indeterminate. I valori di queste in- 

 determinate si fisseranno mercè le equazioni di equilibrio dei vertici, le quali appa- 

 rentemente sono Sn, ma in realtà si riducono a Sn — 6 , perchè da esse debbono 

 risultare le sei equazioni di equilibrio tra le forze esterne soltanto. Una volta avute 

 le a, b, c, le equazioni (6) ci fanno conoscere le tensioni t. 



3. — Diciamo £, v)ì £ le variazioni delle coordinate di un vertice qualunque : 



si avrà 



hj = fly — cos Uij -+- (rjj — -/ìi) cos /3 0 - -t- ($ — £,•) cos y {J , (7) 

 questa relazione paragonata colla (6) ci dà 



aj — a t = %j — ?; , bj — hi — — vj t , C/ — e» = & — £• 

 cioè i moltiplicatori a u b it C; rappresentano le variazioni delle coordinate dei vertici 

 del sistema ('). E sul calcolo di queste variazioni si può stabilire un processo per 

 la determinazione delle tensioni (o pressioni) t ij , quando non si voglia far uso del 

 teorema del potenziale. 



Possiamo ancora procedere in altra guisa. Dalle equazioni di equilibrio dei vertici 

 differenziate ricaviamo Sn — 6 delle £§X e sostituiamole nelle equazioni (3). Ugua- 

 gliando a zero i coefficenti delle k rimanenti variazioni, risulteranno k equazioni fra le 

 tensioni o gli allungamenti delle aste del sistema, le quali congiunte colle Sn — 6 equa- 

 zioni (4) (indipendenti) ci dànno Sn — 6-*-k equazioni per determinare ìeSn — 6-+-k 

 tensioni incognite. Queste k equazioni sono lineari ed esprimono le condizioni geome- 

 triche a cui debbono soddisfare gli allungamenti delle verghe, perchè i loro assi si 

 conservino rettilinei dopo la deformazione e non si stacchino quelli che concor- 

 rono ad un medesimo nodo. Sostituendo in tali equazioni alle funzioni trigo- 

 nometriche le loro espressioni per mezzo delle lunghezze delle verghe del si- 

 stema ed integrando, si troverebbero le relazioni che passano fra le lunghezze 

 di k delle Sn — 6 -t- k verghe e quelle delle Sn — 6 altre. Imperocché , date 

 Sn — 6 delle distanze fra n punti dello spazio, la loro posizione relativa resta 



( [ ) V. la dissertazione di CastiGLUNO, pag. 14. 



