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Nota sulla- Quintica binaria. per G. BATTAGLIAI 



letta nella sessione del 6 giugno 1875. 



L' oggetto di questa Nota è la ricerca del significato geometrico di alcuni tra 

 gì' invarianti ed i covarianti delle forme binarie di 5° grado. 



1. Richiamiamo da principio alcune proprietà delle forme binarie in gene- 

 rale ('). Essendo ¥(x, y) una forma binaria di grado n, se col rapporto x: y s'in- 

 tende determinata la posizione di un elemento &> in una forma geometrica elementare 

 di l a specie (sistema di punti o di piani appartenenti ad una retta, o di rette ap- 

 partenenti ad un tempo ad un punto e ad un piano), 1' equazione F (x, y) = 0 de- 

 terminerà nel sistema un gruppo G" di elementi so (gruppo degli elementi di F), 

 che è la rappresentazione geometrica della quantica P. 



Ponendo simbolicamente 0 ( - = #,■ — -+- y { ~ , V emanante r mo di P, 0, r F ri- 



dx dy 



spetto ad (#,-, y { ), o ad &>,-, è rappresentato geometricamente dal gruppo G," - '' degli 

 elementi armonici ordine n — r di co,- rispetto al grappo G". Più generalmente? 

 V emanante misto 0 t 0 a ... 0,. F rispetto ad (co l , <m 2 , ... co,) determina il gruppo 



n — r 



G,, a ,... r degli elementi armonici d'ordine n — r di (co, , ca a , ... tt r ) rispetto al 

 gruppo G". 



Essendo F' {x, y) ed F' r (x, y) due forme binarie di gradi ni ed n," (n'< n"), 

 rappresentate dai gruppi di elementi G"' e G/' la forma (1)... F' (■—,— 4-) I"' V) 



\ dy (ICO ! 



è quella che determina il gruppo degli elementi armonici d' ordine n" — n' di G"' 

 rispetto a (}."" Se n' = n"=n, la forinola (1) dà l'invariante simultaneo I l5 , di 

 P' ed P,' r di primo grado nei coefficienti di ciascuna di queste forme, {V armoniz- 

 zante di F r ed P"); allorché I lM =0 si dicono le forme F' ed F" armoniche fra 

 loro, o pure i gruppi di elementi G" r e G"" armonici fra loro. Se le due forme F' 

 ed F" s'identificano con una stessa forma F, si ha = 0 identicamente per n 

 dispari, ed — 2I a per n pari, essendo I a l'invariante di F di 2° grado nei 

 coefficienti (V armonizzante di F); allorché I a = CK, la forma F si dice armonica con 

 se stessa. Un gruppo di elementi armonici rispetto agli elementi di (1) forma in- 

 sieme al gruppo degli elementi di F' un gruppo di elementi armonici rispetto ad F." 

 Siano F, , F a , ... F,. più forme binarie di grado n (r < n); tutte le forme 



F = ft, F, H-ft.P, -4- ,.. -hk r Pr, 



OMem. sulle forme binarie di grado qualunque. — Atti dell' Accad. di Napoli, voi. Ili, 186?. 



