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quelli per ciascuno dei quali 1' Hessiano del suo primo emanante rispetto ad F è 

 una forma armonica con se stessa (al pari dello stesso emanante ) ; gli elementi 

 (fio», co^, Oy) del covariante F 3 , 3 di F sono poi quelli per ciascuno dei quali il primo 

 emanante rispetto ad F è una forma armonica rispetto al suo Hessiano; in tal caso 

 questo Hessiano si riduce ad una coppia di elementi doppi, coincidenti con gli altri 

 due elementi di F 3 , 3 . 



La forma F 3 , 3 (x h y h z t ) e V invariante cubico dell'emanante 0, F, e quindi col 

 suo annullarsi si ha la condizione affinchè il gruppo degli elementi di 0 t - F sia ar- 

 monico; vi sono dunque tre elementi ( co», G>y), (gli elementi del canonizzante 



F 3 , 3 di F) per ciascuno dei quali il gruppo G , G Q G degli elementi armo- 



a p , y 



nici di 4° ordine rispetto al Gruppo G 3 è un Gruppo armonico. 



Il Jacobiano dell'emanante 0, F, e del suo Hessiano (2) sarà espresso dal de- 

 terminante 



1, 1, 1, 



axix\ bìjiy\ cz ; z\ 



ax { x (byti/ czìZ*), by,y (cz;Z* -+- ax, se*), cz,z (aX/X* -+- b y^f) 



o sia da 



(3) (aXiX* -+- ...) [bciji z 4 yz {xf — z*) -+- ...] bcij/Z,- (byi — cz,) y*z 3 -t- 



esso determina sei elementi «, per ciascuno dei quali l'elemento armonico di 1° or- 

 dine rispetto all'emanante 0, F coincide con l'elemento armonico di 1° ordine ri- 

 spetto al suo Hessiano; questi sei elementi costituiscono le tre coppie degli ele- 

 menti doppi delle tre involuzioni determinate dai quattro elementi di 0, F (o del 

 suo Hessiano) accoppiati convenevolmente tra loro; ciascuna di queste coppie di ele- 

 menti doppi è armonica rispetto alle altre due ('). 



Se 1' elemento <v>,- appartiene alla forma (3), si ha il covariante di F. di 3° grado 

 nei coefficienti, e di 9° grado nelle variabili, 



F 3 , 9 == (a x> ' ...) [j>cfz* (if - s'j + ...] - bc (by - cz) y* z' + ... ;'■ 

 esso determina quindi nove elementi w, ciascuno dei quali è uno degli elementi 

 doppi in una delle tre involuzioni determinate dagli elementi armonici di 4° ordine 

 di u rispetto. al gruppo G. s 



Se F emanante 0,- F ha un elemento doppio, si annullerà il suo discriminante, 

 il quale è espresso (togliendo l' indice ad w,) da 



F 6 ; e — {bcyz + ...y - 27 a 2 & 5 e* x\fz* = F„ , - 27 F\, , 



= Norma ^(b cyz)z-*-(c a z x)T ■ — ( ab x yfi J ; 



vi sono dunque sei elementi co (gli elementi di F e , 6 ) per ciascuno dei quali il gruppo 

 degli elementi armonici di 4° ordine rispetto al gruppo G 8 ha due elementi tra loro 

 coincidenti. 



H Nota e. 



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