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3. Essendo 



i secondi emananti di F rispetto ad <y, ed co, , le equazioni 



— 0,- 5 F == a x* x s ... = 0 , ed -i- 0/ F = a x* x 3 + ... = 0 , 

 5.4 5.4 



determineranno i gruppi G ; 3 e G/ degli elementi armonici di 3° ordine di w ( - ed Wj 

 rispetto al gruppo G 5 ; se questi gruppi G, 3 e G/ sono armonici tra loro, si annul- 

 lerà 1' armonizzante di 0/ F e 0/ F, espresso da 



ovvero da 



<«](•«•'*-*-••* 



si ha così il covariante misto di F, di 2° grado nei coefficienti, e di 2" grado ri- 

 spetto a ciascuna coppia di variabili 



b c (y/ z£ — il yf) -h c a (*» a?/ - 4* */) « 6 (tó »/ — ^) , 

 il quale evidentemente è il prodotto di 



Vi *j — «< Vi = *i ®j — x ì z ì — ®i Vi — Vi ®.j , 



per 



(1) he [yi zj 4- ì/j) + a (*,• -+- Xi Zj) -ir- ab {x ; y s -+- ^ à? y ) ; 



adunque le coppie di elementi (ao t -, w,) per le quali i gruppi G, 3 e G/ degli ele- 

 menti armonici di 3° ordine rispetto al gruppo G 5 sono armonici tra loro, sono 

 quelle stesse coppie di elementi (&>,-, co,) per le quali sono armonici tra loro i gruppi 

 G/ 1 e G/ degli elementi armonici di 4° ordine rispetto a G," cioè le coppie degli 

 elementi armonici rispetto agli elementi (co^, w v ) del covariante F s , s : è chiaro poi 

 che il gruppo Q k 3 degli elementi armonici di 3° ordine di un elemento qualunque 

 à k rispetto a G" è sempre armonico con se stesso, poiché si annulla identicamente 

 1' armonizzante della forma dispari 0/ F. 



L' Hessiano di 0,* F, o sia l'armonizzante del suo primo emanante rispetto ad 

 un elemento w, (') sarà espresso da 



E^^l-I) *---](«*.^*' -•■•). 



o sia (togliendo 1* indice ad aj) da 



(2) bey* z/yz-*- caz* x* zx-+- ab x* y? x y ; 



esso determina due elementi w, per ciascuno dei quali la coppia degli elementi ar- 

 monici di 2° ordine rispetto a 0, 2 F è armonica con se stessa, o sia quei due ele- 

 menti armonici sono tra loro coincidenti (e coincidenti con 1' altro elemento dello 

 stesso Hessiano); ogni elemento dell' Hessiano di 0\- F forma con i tre elementi di 

 8* F ( ed anche con quelli del covariante cubico di 0, 2 F) un gruppo equianarmo- 

 nico, ed i due elementi di queir Hessiano sono gli elementi doppi della involuzione 

 alla quale appartengono le tre coppie costituite da ciascun elemento di 0, 4 F, e dal 



(') Nota sulle forme binarie di 3° grado. Rend. dell' Accad. di Napoli 1864. 



