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gruppo degli elementi armonici di 3" ordine rispetto al gruppo G 5 ha due elementi 

 tra loro coincidenti (e coincidenti con un altro elemento della stessa forma F l)g ) . 

 Essendo 



0 < e 'M^—-)(^--) F ' 



l'emanante misto di P rispetto alla coppia (ài, w,-), l'equazione 



-7—7 ©< ©j F— aXiXjZ 3 -*- ... = 0, 

 5.4 ' 



determinerà il gruppo G ; , 3 j degli elementi armonici di 3° ordine di (w,-, co,-) rispetto 

 al gruppo G ;> ; i gruppi G,-, 3 ^ al variare di (co,, co,) costituiscono un' involuzione cu- 

 bica doppia ('), e quindi sono armonici rispetto ad uno stesso gruppo di elementi 

 (toa, cop, coy), i quali sono gli elementi tripli della medesima involuzione: esprimendo le 

 condizioni affinchè 0, ©; P sia un cubo, si troveranno così per determinare <w^, wy ,) 

 le equazioni 



ax;XjZ = 0, ^ViVyy — 0 , cZiZjZ—0 , 



sicché si avrà per 



»*, — 0, z; = 0, a? = 0, 

 Wjg, Zi = Ó, Xj = 0, y—0, 



COy, X{==0, ì/j = 0, z = 0, 



adunque («« , co^ , Wy) sono gli elementi del canonizzante di P, 



V 3 , 3 = abcxyz, 



e se (W( , wy) coincidono con due elementi di questa forma F 3 , 3 , il gruppo G,-, 3 y de- 

 gli elementi armonici di 3° ordine di (co,-, coj) rispetto a G 3 sarà costituito da tre 

 elementi coincidenti col terzo elemento della stessa forma F 3 , 3 . 



Segue dalle cose dette che due elementi qualunque (ea,-, w,-), ed i tre elementi 

 w^, &)y) formano un gruppo di cinque elementi, armonico col gruppo G 3 degli 

 elementi di P. 



La forma F 3 , 3 (#,-, s f ) è il cataletticante di ©, F, e quindi col suo annul- 

 larsi si ha la condizione affinchè 0, F possa esprimersi come la somma di due quarte 

 potenze di forme binarie lineari. T gruppi G a \ G^ \ G</ degli elementi armonici 

 di 4° ordine di co a , w^, w r rispetto al gruppo G 5 sono ciclicamente proiettivi, 0 sia 

 gli elementi di ciascuno di questi gruppi sono elementi corrispondenti consecutivi, 

 in una dipendenza equianartnonica ( 2 ) ; gli elementi doppi in queste dipendenze sono 

 rispettivamente (co^ , <y.y), (coy, or»), (fio», w^). 



4. Essendo 



0 " F =(^^-)' F ' e0 ' F =(^l^-)' p ' 



i terzi emananti di F rispetto ad w, ed èoy , le equazioni 



—1— 0 ( 3 F = a x? a? 8 -f- ... == 0 , ed - - 0/ F = a x> x*+ ... == 0, 

 5.4.3 5.4. .3 



determineranno i gruppi G," e G/ degli elementi armonici di 2° ordine di w,- ed w; 



(') Nota e. 



('-) Meni, sulle involuzioni dei diversi ordini. Atti delFAccad. di Napoli. Voi. I, 1863. 



