Osservazioni sulla Teoria della Connessione, 



Nota del dott. ALBERTO TONSLLI presentata dal socio BETTI. 



nella sessione del 2 maggio 1875. 



È noto che nella teoria della connessione si fa uso del seguente lemma: 

 « Se un sistema (a) insieme con un altro sistema (c) di spazi chiusi di n — 1 

 dimensioni forma il contorno di uno spazio S„ di n dimensioni linearmente con- 

 nesso, e se un sistema (b) di spazi chiusi di n — 1 dimensioni forma insieme col 

 sistema (c) il contorno di uno spazio S'„ di n dimensioni linearmente connesso; il 

 sistema (a) ed il sistema (b) formeranno il contorno di uno spazio di n dimensioni 

 linearmente connesso ». 



Di questo lemma importantissimo, che serve a giustificare la definizione di uno 

 spazio molteplicemente connesso, non mi sembra sia stata data mai una dimostra- 

 zione rigorosa che prescinda dai concetti ordinari procuratici da speciali considera- 

 zioni , e si fondi sui concetti semplici di connessione e di contorno. Kiemann che 

 pel primo lo ha enunciato, non ne dà alcuna dimostrazione e si limita a concludere 

 che lo spazio, risultante (in quel caso superficie) limitato dai sistemi (a), (b) sarà 

 uguale alla somma o alla differenza dei due spazi (a) (c), (b) (c). Il sig. Betti che 

 pel primo lo ha esteso allo studio della connessione di spazi con un numero qua- 

 lunque di dimensioni, fa presso a poco le medesime conclusioni. Il sig. Koenisberger 

 nel suo trattato sulle Funzioni Ellittiche lo enuncia per le superficie di Riemann e 

 ne dà la dimostrazione facendo vedere che le (a), (b) formano contorno di un con- 

 tinuo che consta dei continui (a) (c) , (b) (c) quando si tolgano le parti comuni. 

 Questo fatto è conforme alla realtà, ma non si vede bene da cotesta dimostrazione 

 se è possibile che parti comuni ad (a) (c), (b) (c) restino pure connesse e chiuse 

 quando si tolgono le (c). Ora questo fatto non è in contradizione coli' enunciato del 

 lemma che pone per condizione la connessione di (a) (c) e di (b) (c), perchè se io 

 avessi uno spazio comune a questi due e di contorno formato da sole a e b, eviden- 

 temente uscendo per le b con una linea tutta contenuta in (a) (c) potrei raggiungere 

 le c, e uscendo per le a con una linea tutta contenuta in (b) (e) potrei raggiungere 

 le c. Questa considerazione generale è confermata dalla seguente coppia di esempi: 



