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dove la prima figura rappresenta una superficie di Eiemann con il contorno k, di 

 due fogli e con sei punti di diramazione, e la seconda una superfìcie che può chia- 

 marsi doppia annuiate, perchè può considerarsi come nata dallo innestamento di due 

 superficie annulari, e da una semplice trasformazione continua : allora prendendo 

 c = (c), a l ,a i = (a) b l , b % = (b) si riconosce subito che anche la parte di super- 

 ficie limitata da a, , b 2 che era comune ad (a) (c) e (b) (c) resta chiusa e connessa. 

 Osservando che la seconda superficie gode, riguardo alla connessione, delle mede- 

 sime proprietà della prima, quando avremo da portare qualche esempio ci serviremo 

 di quella che ha il vantaggio di avere tutti i suoi punti a distanza finita. La su- 

 perficie di un anello dove si fossero descritte due curve come k, e la superficie di 

 Riemann di due fogli con quattro punti di diramazione dopo aver costrutto nei due 

 fogli una curva analoga a k prestano i medesimi esempi. 



Inoltre osservo che 1' espressione: i sistemi (a) e (b) formeranno il contorno di 

 uno spazio connesso, deve intendersi che almeno una parte di (a) con una parte 

 di (b) formeranno il contorno di uno spazio connesso perchè vedremo che si può 

 dimostrare che ognuno degli spazi a e b entra a far parte del contorno di uno spazio 

 connesso, ma questi spazi possono essere separati fra loro, come si vede nella figura 

 precedente, se trasportiamo la k fra b 2 e a,. Questi esempi fanno anche vedere come 

 in generale non sia giusto che lo spazio risultante equivalga alla somma o alla dif- 

 ferenza dei precedenti. 



Premesso questo non mi sembra affatto inutile presentare una dimostrazione 

 rigorosa del predetto lemma che si fondi sui concetti di connesso e di contorno che 

 qui riassumo nel seguente modo: 



« Uno spazio è connesso quando presi in esso due punti qualunque, si può con 

 una linea continua che non esce dal medesimo, andare dall' uno all' altro ». 



« Contorno di uno spazio S (l di n dimensioni è un sistema tale 2 n _ i di spazi 

 di n — 1 dimensioni che godono della proprietà, attraversati un numero dispari di 

 volte, di condurre al difuori o nell'interno dello spazio se eravamo all'interno o al 

 difuori. 



Ciò posto, avendo detto nell' enunciato del lemma che (a) (c) formano il con- 

 torno di uno spazio, io intendo che attraversando le a o le c si entri, se eravamo 

 all' esterno, o si esca, se eravamo nell'interno, dallo spazio (a) (c) il che porta neces- 

 sariamente le seguenti condizioni per le (a), (b), (c): 



1) Che tutte le (c) sieno necessarie sia colle (a) sia colle (b) onde formar 

 contorno. 



2) Che una parte delle (a) o delle (6) o delle (c) non formi già di per se 

 contorno. 



3) Che non avvenga che una parte {a') per esempio, delle (a) con una parte 

 (c') delle (c) formino contorno, e 1' altra parte (a") delle (a) e (c") delle (c) insieme 

 con tutte le (c r ) (a') formino contorno. 



Queste condizioni sono in generale necessarie (eccettuata quella che una parte 

 delle (a) o delle (b) formi già contorno, che solo per comodo poniamo, riservandoci 

 a far vedere che non toglie l'esistenza del lemma) però le discuteremo più tardi 

 onde mostrare in quali casi benché non sodisfatte, il lemma non cessa di verificarsi. 



