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Premetteremo la seguente considerazione generale sui sistemi di spazi. Suppo- 

 niamo di considerare r spazi di n dimensioni S 4 _, S, , ... , S,. cotenuti tutti nello 

 spazio linearmente connesso T, e sieno (a,) , (a 2 ) (a,.) i sistemi di spazi di n — 1 

 dimensioni che ne formano i relativi contorni. Per maggior generalità supporremo 

 che un certo numero di spazi a possa formar parte del contorno di più spazi S. In 

 generale questi spazi S avranno delle parti a comune. Queste parti di spazi che ap- 

 partengono ad uno, due... s degli spazi S le chiameremo per brevità spazi semplici, 

 doppi,... s p " e questi saranno altrettanti spazi chiusi separati fra loro così che per 

 passare da uno spazio s vl ° in uno s' p '° dovrò attraversare necessariamente alcuni 

 degli spazi a. Chiamiamo allora a s _ t uno degli spazi a che forma il contorno di s 

 spazi S, ma che considerato come contorno di uno spazio multiplo di ordine p in 

 questo, di quegli 5 spazi S non ve ne compariscano che t (ciò che porta differenza 

 nell'indice di un medesimo spazio a, a seconda dello spazio multiplo rispetto a cui 

 si considera); se io attraverso a s _, esco da t spazi S ed entro in s — t restando 

 sempre nell'interno degli spazi di cui a s _ t non forma contorno, quindi lo spazio in 

 cui entro sarà multiplo di ordine 



p H- s — 2 t 



e potremo dire in generale, « Partendo da uno spazio multiplo di ordine p dopo 

 avere oltrepassato l spazi a si riescirà in uno spazio multiplo di ordine 



q = p+ I {s — 2l) 

 l 



dove la somma accenna che debbono prendersi successivamente per t e per s i 

 valori appartenenti allo spazio a s _ t attraversato ». 



Se lo spazio T fosse chiuso, i sistemi (a,) (a,) (o r ) formerebbero il contorno 

 respettivamente anche degli spazi di n dimensioni T — S t , T — S 2 T — S,: 

 supponiamo allora che invece degli s spazi Sa, , Sa 2 Sx s si considerino appunto 

 gli spazi complementari T — S<x l , T — Sse 2 T — Sa s e vediamo che cambiamento 

 subisce in quel caso la multiplicità di uno spazio qualunque. Sia questo spazio 



Ps-t di ordine p, e degli spazi Sa, , Sa s ne comprenda solo t, allora dopo fatto 



il cambiamento diverrà multiplo di ordine 



P -ir- S 2t 



e quindi in generale « uno spazio multiplo di ordine p dopo l successivi cambia- 

 menti di un certo numero di spazi S in T — S diventerà multiplo di ordine 



q = p + l(s-2t) 



l 



quando per s e per t si prendano successivamente i valori appartenenti ad ogni 

 cambiamento ». 



Si può osservare che il numero p I (s — 2t) resta sempre positivo e quando 

 sia p = Is = li diventa zero come deve essere trovandoci nello spazio esterno. 



Ciò posto torniamo al nostro caso particolare dei due spazi connessi (a) (c), 

 (b) (e) : in queste condizioni avremo tutto al più spazi doppi e spazi semplici 

 appartenenti solo ad (a) (e) ed a (b) (c): supponiamo il caso più generale e chia- 

 miamo D i primi, A i secondi, B i terzi. 



