— 597 — 



Consideriamo prima gli spazi semplici , poi considereremo gli spazi doppi , e 

 supponiamo dunque di trovarci in uno spazio A , per esempio ; allora questo o 

 conterrà per contorni solo a e b e allora esso resta chiuso quando si tolgono 

 le (c) , o conterrà ancora le c , e allora vediamo che cosa succede attraversandole. 

 Siccome si aveva p = 1 , s — 2 , t = l così riescirò in uno spazio semplice cioè 

 in uno spazio B (ciò che è evidente anche senza bisogno di ricorrere alla considerazione 

 generale); ora questo spazio B (o questi se si avevano piti c e conducevano in spazi dif- 

 ferenti) possono non avere per contorno altre c fuori di quelle per le quali sono 

 in essi penetrato, e allora evidentemente questi spazi A, B tolte le (c) si connet- 

 tono restando pur chiusi perchè per le c non riesciva mai nello spazio esterno , o 

 contengono altre c e allora penetro per quelle in un altro spazio semplice A al 

 quale applico le medesime considerazioni , e così vedo che finalmente dovrò giun- 

 gere in spazi che non abbiano altri contorni c fuori di quelli che ho già attraver- 

 sato: allora tutti li spazi semplici per i quali sono passato, tolte le (c), si connettono 

 in uno spazio chiuso di contorno formato da a e b. Così o avrò esaurito tutti gli 

 spazi semplici, o me ne rimarranno ancora da considerare, in questo secondo caso 

 portandomi in quelli che non sono stati ancora attraversati ripeto il medesimo ra- 

 gionamento, e posso conchiudere che gli spazi semplici restano tutti quanti connessi 

 e chiusi aggruppandosi in un certo modo con contorni (a) (b). 



Gli spazi doppi D o avranno solo contorno di a e b e allora restano chiusi 

 certamente col togliere le (c), o hanno anche le c a formar parte del contorno , e 

 allora siccome attraversando le c (p ■== 2, s = 2, t = 2) riesco nello spazio esterno, 

 così dovrò dire in generale che questi spazi restano aperti col togliere le (c) Ho 

 > detto in generale perchè se lo spazio esterno T fosse chiuso, allora anche questi si 

 connetterebbero collo spazio esterno a formare parte connessa di spazio T limitata 

 da a a da b: il che si ricava anche dalla seconda parte della considerazione gene- 

 rale perchè prendendo (b) (e), per esempio, contorno dello spazio connesso T — (/;) (c) 

 gli spazi D diventano A, gli spazi A diventano D, gli spazi B spazi esterni, e li 

 spazi estemi spazi B. 



Ora può farsi vedere che ognuno degli spazi connessi a e b entra a far parte 

 di contorno in uno almeno degli spazi connessi che restano dopo tolte le (e); infatti 

 o formava parte di contorno di uno spazio semplice, e allora la dimostrazione prova 

 che forma parte di contorno anche tolte le (e); o formava parte di contorno di spazio 

 doppio, e allora attraversandolo (p=2, s==l, t=ì) entro in uno spazio semplice, 

 quindi in ogni modo forma parte del contorno di spazio semplice. 



Si vede inoltre che gli spazi chiusi doppi che avevano per contorno solo a o b 

 attraversando uno spazio a conducono in uno spazio B, attraversando uno spazio b 

 conducono in uno spazio A, per cui per queste a e b non si riesce mai nello spazio 

 esterno, e quindi sopprimendole non aprono alcuna parte di spazio. Da quanto si è 

 detto emerge che possiamo enunciare il lemma nel seguente modo : 



« Se un sistema (a) con tutto il sistema (c) di spazi di n — 1 dimensioni 

 formano il contorno di uno spazio connesso di n dimensioni , ed il sistema (b) di 

 spazi di n — 1 dimensioni forma con tutto (c) pure contorno di uno spazio di n 

 dimensioni connesso, anche tutti gli spazi del sistema (a) con tutti gli spazi del 



