— 598 — 



sistema (b) formeranno i contorni di uno o più spazi connessi di n dimensioni, lo 

 insieme dei quali coinciderà cogli spazi (a) (c), (b) (c) tolte le parti comuni che 

 hanno parte del contorno formato da (e); e inoltre potremo dire che formeranno 

 contorno completo di parti connesse le a e le & che da sole non formano contorno 

 di porzioni di spazi comuni ad (a) (c) e (b) (c) ». 



Dopo tutto ciò è chiaro che ove si abbia solo spazi comuni ad (a) (c), (b) (c) 

 con contorno contenente le c, è giusta la conclusione che le (a) (b), formano contorno di 

 spazi che si deducono dagli spazi fa) (c), (b) (c) togliendo le parti comuni. La con- 

 clusione di Riemann si riferisce ai due casi speciali: 1) che si abbiano solo due 

 parti di spazio semplice A e B che corrisponderanno perciò alli spazi (a) (c), (b) (c) 

 e che avendo contorno con le c si connetteranno in uno spazio uguale alla somma 

 dei precedenti: 2) che si abbia un solo spazio doppio e le parti semplici o tutte A 

 o tutte B, nel qua! caso lo spazio doppio sarà o tutto (b) (c) o tutto (a) (c) e pos- 

 sedendo perciò per contorno le (c) non comparirà nello spazio risultante che sarà 

 perciò uguale od a (a) (c) — (b) (e) od a (b) (c) — (a) (c), ma che potrà pur sempre 

 essere formato di parti separate. 



I seguenti quattro esempi mostrano il caso generale e i tre casi speciali cui 

 ho accennato. 



Ora riprendiamo un poco le condizioni sopra imposte ai sistemi (a), (b), (c) e 

 discutiamole. Per rendere più semplice la loro discussione, e perchè ne faremo uso 

 più tardi dimostriamo la seguente proprietà: 



« Se («) è un sistema di spazi di n — 1 dimensioni che forma il contorno com- 

 pleto di uno spazio connesso di n dimensioni e (b) e un altro sistema di spazi di 

 n — 1 dimensioni che insieme coìl'intero sistema (a) forma contorno di uno spazio 

 connesso di n dimensioni, anche (b) preso isolatamente formerà contorno completo 

 di spazio connesso. » 



Poiché lo spazio [(a) (b)] è connesso, lo spazio di contorno (a) non potrà esser 

 parte di [(a) (&)] quindi avremo solo due casi possibili o [(a) (b)] e [(«)] sono 

 spazi che non hanno alcuna parte a comune o lo spazio [(a) (b)] è tutto con- 

 tenuto in [(«)]. 



Nel primo caso portiamoci in un punto di [(a) (&)], allora anche senza bisogno 

 di invocare i risultati della considerazione generale sopra riferita, si vede imme- 

 diatamente che per le (b) si esce nello spazio esterno e per le (a) si entra nello 

 spazio [(a)] e questo succede per ognuna delle a del sistema (a) quindi si vede 

 che attraversando una a qualunque non si entra in communicazione collo spazio 

 esterno, per cui togliendole non metteremo lo spaziosa) (b)] in comunicazione collo 

 spazio esterno, e perciò rimarrà uno spazio chiuso che comprenderà anche i punti 

 di [(a)].: Nel secondo caso consideriamo un punto semplice di j_( a )] e cerchiamo 



