Sulla funzione potenziale dell'ellisse e dell'ellissoide 

 Nota del prof. ULISSE BINI presentata dal socio BEITI 

 nella sessione del 2 maggio 1875. 



1. La funzione potenziale di una ellisse omogenea e stata data per la prima 

 volta da Eiemann senza dimostrazione in una lettera da lui diretta al prof. Betti 

 e pubblicata poi negli Annali di Tortolini. Il prof. Betti già da qualche tempo ha 

 ritrovato quella formola come limite della funzione potenziale di un ellissoide di 

 densità variabile secondo una certa legge quando questo ellissoide schiacciandosi 

 indefinitamente si riduce ad una ellisse, e ha così mostrato che essa corrisponde alla 

 funzione potenziale di uno strato ellittico di altezza infinitesima. Quando però si 

 voglia la funzione potenziale di una ellisse, considerando la massa distribuita su 

 essa come massa superficiale, allora la dimostrazione del prof. Betti non può più 

 bastare non essendo sempre vero che il valore di una funzione al limite (cioè nel 

 punto limite) sia il limite dei valori che essa ha avanti di arrivare al limite stesso. 



Per questo, non volendo fare uso del metodo dato da Mertens (*), ho cercato 

 di dimostrare in generale che una funzione di cui quella di Eiemann non è che un 

 caso particolare ha appunto le proprietà caratteristiche della funzione potenziale di 

 una ellisse su cui trovasi distribuita una materia, la cui densità è costante in ogni 

 punto, o varia soltanto passando dall'una all'altra delle varie ellissi omotetiche al- 

 l'ellisse data che possono tracciarsi nel suo interno. I risultati delle mie ricerche 

 sono contenuti nel presente lavoro. 



2. Sia data una ellisse: 



situata nel piano xy, essendo a < b, e siano (£;, le coordinate di un punto 

 qualunque non situato sul contorno o nell'interno dell'ellisse stessa. Sia poi: 



e sia X, la radice massima della equazione: 



e F (H) una funzione di H che per tutti i valori di H fra 0 e 1 (i limiti inclusi) è 

 finita e continua e ammette una derivata P r (H) che è finita e atta alla integrazione, 



(*) Mertens « De functione potentiali duarmn ellissoridium hornogeueaurum » Borehardt's 

 Journal Band. 63, S. 360. 



R= 1 — 



X X 



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