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o tutt'alpiù diviene infinita per H = 0 e di ordine non superiore ad Dico che 

 la funzione : 



r 00 di 



ove: 



D = X {a 2 h- X) (ò 2 ~+- X), 



è la funzione potenziale della ellisse (1) su cui s' intende distribuita una materia la 

 cui densità in ogni punto (i-, vj) è : 



^~s~ rZ/o-iA ae i (q) 



essendo : 



V$ 3 nab\^S" 



8=1-^-1;. 



a o 



Per vedere questo incominciamo dall'osservare che. essendo P (H) una funzione finita 

 e continua di >}, £ e X, almeno finche X è diverso da zero, e X esso pure essendo 

 una funzione finita e continua di £, vj, £, si vede subito che la funzione V sarà una 

 funzione finita e continua di 5, >j, £ per tutti i punti dello spaziò all' infuori tutt'al 

 più di quelli che corrispondono a £ = o e che sonò situati sulla ellisse (1), perchè 

 per essi e per questi soli si ha 1 = o. 



Però se si osserva che pei punti yj, o) dell'area ellittica (pei quali è l=o) si ha: 



di r 00 di 



mentre per ogni altro punto sufficientemente vicino A t , vj.-+- £) si ha: 



/£ dX r °° dX 



V =A F(H) W~J> (H) W' 



essendo s una quantità arbitrariamente piccola e indipendente da X, , si vede subito 

 che si ha la continuità anche nei punti (£, vj, o) della nostra ellisse, giacche i due 



integrali i , i sono arbitrariamente piccoli, tale essendo la loro ampiezza, e i 



due fra e e oo , per valori sufficientemente piccoli di h, k, 'C finiscono per differire 

 l'uno dall'altro meno di qualunque quantità data; quindi si può dire intanto evi- 

 dentemente che V è una funzione finita e continua di vj, £ in tutto lo spazio. 



Osservando poi che quando il punto attratto (£, vj, £) si allontana all' infinito, 

 la quantità X, che è la radice massima (positiva) della equazione H = o, cresce 

 indefinitamente, si conclude subito che la funzione V (la quale in valore assoluto 

 r °° di 



è inferiore ad: A J ove A è una quantità finita) soddisfa anche alla condi- 



zione di annullarsi a distanza infinita. 



