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Lo studio di questo limite, quando si voglia continuare a non ammettere nulla 

 intorno alla derivata di F (H) fra 0 e 1, sembra difficilissimo, e i risultati cui sono 

 giunto, mantenendo tale generalità, non possono dirsi pienamente completi. 



Supponiamo infatti £ e quindi X t già abbastanza piccoli, e indichiamo con S la 



quantità: 1 — , e con X t , , v i le tre radici della equazione: 



H-l *' - ? _ 0 



delle quali la prima è positiva, la seconda è fra 0 e — b 1 e la terza fra — W 

 e — a 1 (supposto a > b), e osserviamo che si ha: 



. (X-XJ (X-^) (X-v t ) 

 X (a 2 "+~ X) (ò 2 h- X) ' 

 Um /Jt, v, = (im (X, ■+■ X, ft, vj = a 2 ò 2 — f è 2 -j/'a ! = Sa 2 6 2 , 



e : 



' r £ , /_?_\ r 00 d / g \ 



-2F(H,)l -I ,dH (/ _ dX-2l F(H)J <!H .,— ctt, 



essendo k una quantità arbitrariamente grande ma finita, e e una quantità arbitra- 

 riamente piccola ma finita essa pure e: 



kì a'b* ^k*) 



Oltre a ciò osserviamo che quando gè»? non sono zero ambedue, la quantità 



— f cffl ,. 1 cangia segno soltanto per valori di X della forma X = A VX, ove 



A è una quantità finita che non tende a zero con X t e quindi soltanto fra \k e z ; 

 mentre per | = e — o essa cangia segno soltanto per l = ab, e quindi fra s e oo. 

 Facendo nel primo integrale X = X, 0, si vede subito che per S differente da zero 

 si ha: 



1!. !_ P * ,o - 1 ~ 2 p K 1 " }>] v*" _ 



*s «»vtJ U J ■ — — 



