— 697 — 



e così in questo caso si ha sempre per qualunque valore di S: 



dO 



, ± lim 2F(o) 



1, I( | -t) s Ì- Kì '"» 



abV S 



e i limiti che compariscono nel secondo membro sono determinati e finiti per S dif- 

 ferente da zero, e sono tali anche per S = o, purché però per questo caso sia 

 Y(o) — o, senza di che per S = o si ha p = oo. 



E così in particolare per F(H) = 2 ab VlT si ha: 



p=, lim d9+iVk=ì\=i 



<J i 



ciò che ci permette intanto di affermare con tutto il rigore che la funzione: 



/"» 00 



r— d\ 



V = 2«& ! VR 



Jx, VB 



è la funzione potenziale di un area ellittica su cui sia distribuita una massa omo- 

 genea colla densità uguale ad uno. 



7. Del resto nel caso sempre che F (H) ammetta fra 0 ed 1 una derivata che è 

 sempre finita ed atta alla integrazione e che se diviene infinita lo diviene soltanto per 

 H = 0 e di ordine non superiore adi, è facile di avere la espressione della den- 

 sità p sotto una forma semplice per mezzo di un integrale definito, come si e an- 

 nunciato in principio. 



Applicando infatti la integrazione per parti alla espressione: 



00 



dV 



si trova che: 



2 S F (H) -^— I dR • 



' V \ iti ' 



dv 2P(0)? 



SS 



