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8. Volendo determinare anche la quantità totale M di materia contenuta sulla 

 nostra ellisse (1), osserveremo che se £ è il raggio vettore del punto attratto si deve 

 avere lim. IY — M; e poiché ponendo \ = \ l 9 si ha: 



6 



. I. 



e per l = oo si ha lim v \ — co e lim , — = 1, si concluderà subito che: 



VX 



M: 



/-~>00 ✓->« 



indipendentemente dalla esistenza o nò della derivata di F (H). 



Del resto, indicando ancora conila densità della massa stessa su ogni ellisse: 



y 



a 2 (1 — S) b* (1 — S) 

 omotetica alla ellisse data, e ricordando che l' area elementare compresa fra due di 

 queste ellisse consecutive (S) , (S — dS) è -abdS, si può anche dire che: 



M = 7iabf 0 i pdS, 



e quindi nel caso in cui P (H) ammette una derivata che soddisfa alle condizioni 

 poste sopra, si avrà anche: 



dQ 



l S) r7 =- + -2F(o) = 



S F' (a) 

 y S — co 



così, avendo riguardo al valore precedente di M si potrà concluderne anche che 

 se F (x) è una funzione che per tutti i valori di x fra 0 e 1 soddisfa alle condizioni 

 poste sopra per F (H), si avrà la forinola seguente: 



Vi— a 1 V^S— a 



o anche cangiando F (co) in F (a? -+- co) : 



F (x co) dco 1 F (x -+- co) 



F(a)+ — ^ — == — = 1 S ! v , ' da, 

 Vl-v V^S-co 



come si potrebbe trovare nuche per altra via. 



