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Sul concetto di integrale definito. 

 Nota del prof. G. ASCOLI 

 presentata dal socio LUIGI CREMONA 



nella sessione del 6 giugno 1875. 



I. 



1. Diremo gruppo di punti di un segmento di retta l' insieme di un numero limi 

 iato di punti posti sul medesimo. 



Costruisco sopra un tratto ab ima serie illimitata di gruppi nel modo che se- 

 gue: prendo una lunghezza qualsivoglia y] l minore di ab, quindi segno un punto x t 

 per modo che sia ax l poi un punto x % tale che si abbia x^x % <.yi^, e così di 



seguito arrestandomi al segmento x n b < I punti a? s , ... x n , inclusi o no amen- 

 due gli estremi a e b oppure incluso uno soltanto, formino un gruppo, che dirò G,. 

 Giovandomi della quantità vj t ed operando nel modo ora indicato, io potrò costruire 

 un numero arbitrio di gruppi : sieno essi G 1? G 2 ... , G s .. Piglio quindi un' altra gran- 

 dezza Y}^<C.O\ e con questa, come con la yj,, determino un altra serie di gruppi 

 G Sl 1? Gjrj _h *t. » ^ ou ^ a quantità vj 3 <C>3 2 poi costruisco la sequela 



G Sa _,_ a , G S3 . Supposto ora che sia 



«»> >3 2 > •<?„> •••• > n* > , tim r) n = 0, 



n = oo 



procedo nel modo indicato indefinitamente, gli interi s 4 , s 2 — • s,, s 8 -^- s 2 , .. . essendo 

 del tutto arbitrari. 



La serie G l5 G 2 , .... gode della proprietà che, data una grandezza qualsivoglia 

 e, si pud sempre assegnare un numero r, tale, che la distanza fra due punti quali 

 si vogliano di uno qualunque dei gruppi Q> G r t , G r , ... non sia maggiore 

 di e ; se e converge a zero, r va all' infinito non oscillando. 



Con r indico il minimo numero che soddisfa a questa condizione. 



Reciprocamente, data una serie illimitata di gruppi G/, G/, ... nell' intervallo 

 ab, ì quali godono di questa proprietà, sarà la medesima una tra quelle che si 

 ponno ottenere col metodo or ora indicato, oppure è tale, quando si faccia astra- 

 zione di un numero limitato di gruppi. 



Infatti, per l'ipotesi fatta, potrò determinare un numero r i (il minimo possibile), 

 tale, che le distanze di due punti quali si sieno di ciascuno dei gruppi G' ri , Gr'n-^ vì ••• 

 non sia maggiore di yj 1% Il numero r i soddisfi alla stessa condizione rispetto alla 

 quantità vj a , r 3 rispetto ad yj 3 , e così di seguito indefinitamente. I numeri r,, r 2 , r 3 , ... 

 andranno all' infinito senza oscillare, che, se r s si mantenesse costante , mentre la 

 quantità vj tende a zero, la serie proposta non rappresenterebbe una sequela di gruppi 

 di punti. Ed egli è chiaro che tra le serie di gruppi, le quali si ponno ottenere 

 col metodo or ora esposto, sempre giovandosi delle grandezze vj,, vj 2 , vi è anche 

 la successione G fl , G ri _,_ l5 ... (?\> !)• 



