— 863 — 



IL 



1. Sia f(x) una funzione finita dei punti del segmento ab, e tale, che non si 

 possa assegnare un intervallo in ab per ciascun punto del quale cessi la dipendenza; 

 ad esempio la serie 



' cos. (2n -t- 1) x— ■ 



u 



la quale definisce una funzione che cessa di esistere soltanto nei punti di ascissa 

 — > V e 1 essendo numeri impari compresa l' unità. Sieuo poi Gr 15 Gr 2 , ... — g t , g^... 



due serie illimitate di gruppi ottenute col metodo poc' anzi accennato. Indichiamo 



con Sj (s) , § 2 < s) , ... , ò\ s (s)- — , ci® dp t f\'m grandezza ed in segno i tratti in cui 



il segmento a b risulta rispettivamente diviso dai gruppi G s , g,, e con A, (s) , A v lt) 

 i limiti superiori dei valori assunti dalla f(x) negli intervalli 8 r W , d v ® , compresi 

 i limiti, i quali, come è noto, non vengono nella ipotesi fatta circa alla f(x) ne- 

 cessariamente raggiunti. 

 Ciò posto, facciamo 



h Pi 



9 (s) = 2m &J*> A m <*> , ?1 (t) = 2m d^ A,/> . 

 ì i 



Egli è manifesto che le funzioni <p (s), <p } (t) esistono solamente per valori interi e 

 positivi della variabile, e che restano finite al crescere indefinito di quest' ultima; 

 in quanto si ha, astrazion fatta dal segno, quali si sieno set, 



<p (s) < a&. B, afe. B, 



B essendo una grandezza maggiore della unità e del limite superiore dei valori as- 

 soluti della f(x) in ab, inclusi i limiti. 



2. Dimostriamo ora alcuni Lemmi che ci serviranno in appresso : 



I. Se mn è un segmento tutti i punti del quale appartengono ad ab, C il 

 limite superiore della f(x) in mn, compresi gli estremi, g' un gruppo di punti che 



decompone mn nei tratti A 15 A. 2 , A 3 , , e C t , C 2 , C 3 ,... i limiti superiori della f(x) 



nei medesimi, non esclusi i limiti, non potrà essere 



mn.G<2 G r . A,. 



Infatti, si ha per ipotesi mn = 2 A,-, quindi mn. G — 2 G. A,, ed il termine 

 A,.Cnon è inferiore al corrispondente A,.C r . Se la quantità G s (s= 1, 2, 3,....) rap- 

 presentasse il limite superiore della f(x) Dell' intervallo A s esclusi ambedue i limiti 

 oppure uno soltanto, il teorema sarebbe vero a più forte ragione 



II. Indicando con s' un numero intero determinato ad arbitrio, si pud 

 sempre assegnare un numero q, tale, che la differenza 



9\ (? + r)—cp (/), 



r essendo un numero positivo qualunque ed anche lo zero, sia minore di una 

 quantità positiva qualsivoglia e. 



Ed invero, consideriamo i punti intermedi ad ab che appartengono al gruppo 



