— 864 — 



Gy, e sieno essi x v a? s , .... x^ _ ,: segno segmenti y f y[ r , y^y^, .... nel modo 

 indicato dalla figura 



a?, ccu — i 



l s > 1 Y 



ed in guisa che si abbia B In y n y' n < — e. Si suppone che £ sia minore di 



1 à 



$iJ s 'h òY s,) essendo il minimo tra gli intervalli determinati dal gruppo Gy, ed m 



un numero arbitrariamente grande. 



Ciò posto , assumo per t un valore q, tale, che il massimo degli intervalli 

 d' r ^ r) (r> 0), che dirò dJv~*~ T ), nei quali risulta diviso il segmento ab dal gruppo 

 9<i+ r non sia superiore al minimo dei tratti y l ae it x l y', y 2 x. 2 , a? 2 y t r , In tale ipo- 

 tesi in ciascuno dei segmenti or ora indicati cadrà per intero almeno uno degli in- 

 tervalli dti~*~ r K Egli è facile poi a vedersi come in ciascuno dei tratti ay 0 y t r y t , y t ' y 3 ,... 

 non cadano meno di (2m — 1) (l s r — 1) segmenti d {( '~~ i ~ r K Infatti, sia y' e y t _^ i la mi- 



h' — 1 



nima tra le lunghezze ay it y/ y % , yl y ì essendo B > 1, la somma Ir y r y ' r è mi- 



i 



1 à (*') 9<rn 1 1 



nere di — WV*V^c>lf- |_ = A_^>, ma^^)>(^-l) 



àji+r) e quindi y j y ^ > (2m — 1) (4, — 1) dJ'-^'K 



Aggiungiamo ora al gruppo g q _^_ r i punti y ed y che non gli appartengono, se 

 pur ve ne sono. Se y h ad es. cade entro il segmento dj l [ i~*~ r ) lo dividerà in due parti 

 d u <^~^, djjr*-** per modo che si abbia d^'ì = d n ^ r ) + d h ^ r \ e quindi 

 A -j (r ^ r) dj^ 1 ") =z A/ 2 "^ d h ^r) jtyr»-*) djto-*- r ). Supporremmo che nella espres- 

 sione <p 1 — t— ?-) ciascun termine analogo ad A/ 2_t-r) c£/ 2_t ~ r) venga spezzato nei due 

 corrispondenti. 



La somma 2A (2_H ~ r) d^~ r ) di tutti i segmenti o porzioni di segmenti d[ q ^~ r] , i 

 quali appartengono agli intervalli ay ± , yj y v y\ y t , .... , y' (/ _ 2 ?/;/_,, y'i/ _ ,6, somma 

 che indicheremo con A,, non è al certo maggiore della quantità 



l$r l s '—i ls'—l 



B,= 2m 9 m W kj s ')— 2m y m x m kj s ')— 2m a? m i/ m A m _ 1 W, 

 i i i 



e ciò in virtù del primo Lemma, in quanto non si ha 



fcW A m W- (ar. _ , y r m - i - + - y m x m ) k m C"J<2 Aff*-^ 

 la sommatoria essendo estesa a quei segmenti e pezzi di segmenti dCi~*~ r ), che ap- 

 partengono al tratto y' m — '^y mì ed ogni parte di segmento d(i~ > ~ r ) essendo moltipli- 

 cata pel limite superiore di f(x) in tutto il tratto corrispondente. Ora, la somma 

 2 k(r^ r ) dCi~~*~ r J riferita a tutti quei intervalli d(i~*~ r ) o parti di essi che formano 

 i tratti y 1 yJ, y i 'ylyUyi/-ty'y- ù che è eguale a <p t (q-+- r) — A, è più piccola 



