— 865 — 



isf—i h'—i y~i 



di B Zmy m y' m , come pure l'altra Sw y m x m kj") -+- Zm x m y' m k m _^( s 'ì, quindi, 

 i i i 



essendo 



A, — B, < 0, 9i {q + r) — k t — (<p (s') — B,)< 2 B \m y m ?/ m < e , 

 sarà <p l (q-+-r) — q> (s') <s ; 



il Lemma è adunque dimostrato. 



3. La funzione (p(s) tende ad un limite all' indefinito crescere di s. 

 Infatti, (p(s) restando finita per s infinito oscillerà tra due grandezze assegna- 

 bili, o tenderà ad un limite. Il primo caso non può aver luogo: supposto per un 

 momento che esso si verifichi, ed imaginando rappresentata graficamente la funzione 

 cp(s) nel solito modo, sieno y — M ed y = N le rette limite, superiore ed inferiore 

 rispettivamente \ Costruisco le linee y = M — vj, y =f= N vj, vj essendo una quan- 

 tità minore di (M — N), ed arbitrariamente piccola. Ciò posto, vi sarà un nu- 



mero illimitato di ordinate un estremo delle quali cadrà superiormente alla retta 

 y = M. — fi, ed un numero pure illimitato aventi un estremo inferiormente all' altra 

 ?/ = N -t- vj. Sia (ù{u) <C N vj : potrò determinare un numero arbitrario di valori 

 di s maggiori di u, pei quali la ordinata (p(s) abbia uno dei suoi estremi superior- 

 mente alla retta y=M — vj. Ma, pel Lemma precedente, ammesso che i due si- 

 stemi di gruppi G-j, Gr 4 , Gr 3 , ... — g v g v ... sieno identici, io posso assegnare un 

 numero q, tale, che la differenza <p(q -t- r) — cp (u) (r ;> 0) sia minore di M — N — 2>j: 

 le quali cose contrastando le une con le altre, non potrà la funzione <p(s) non ten- 

 dere ad un limite L per s infinito. 



Se Gr t , Gr 2 , ... e g it g^, ... sono due serie illimitate di gruppi, <p(s), cp^t) le fun- 

 zioni ad esse corrispondenti, e se 



lim cp (s) == L , lim <p 1 (t) = L t , 

 s = oo t = 00 



sarà L = Lj. 



Ed invero, facciamo s sì grande, poniamo eguale ad u, che <p (u -t- v) (v > 0) 

 sia arbitrariamente vicina al suo limite L. In virtù del secondo Lemma potrò tro- 

 vare un numero q in guisa che la differenza cp l (q -+- r) — o(u) (^>0) sia minore 

 di una quantità arbitrariamente piccola e, essendo in pari tempo la funzione (p^q -+- r) 

 vicinissima al suo limite. Abbiamo quindi 



L t <L 



In modo analogo farei vedere come si abbia 



L<L ( , 



e quindi L t = L. 



* V. la mia memoria Sulla serie di Fourier (P° 6° degli Annali di Matematica pubblicati dai 

 professori Brioschi e Cremona). Ivi io mi accosto al punto a posto a distanza finita, suppongo cbela 

 funzione sia continua Ira a e b, e si mantenga finita in questo intervallo. Egli è però manifesto 

 come basti sia soddisfatta la terza delle condizioni soltanto, perchè sussista il concetto di rette limite. 



109 



