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Possiamo pertanto enunciare il seguente teorema : 



Se f(x) è una funzione finita dei punti del tratto a b, la quale non cessa di 

 esistere del tutto in veruna parte del medesimo, comunque essa sia piccola, la 

 somma Zò\/'^ kj s ) relativa alla serie di gruppi Gr s (5 = 1, 2, 3, ...) convergerà ad 

 un limite L, mentre s va all' infinito: questo limite resterà lo stesso qualunque sia 

 la serie di gruppi cui ci riferiamo. 



4. Questo teorema può generalizzarsi alquanto, la qual cosa risulta da ciò 

 che segue. 



Il limite superiore dei valori assunti da una funzione <p(x) in un dato inter- 

 vallo mn(m < n) inclusi ambo i limiti sia A; esclusi ambidue 'A'; incluso l'estremo 

 a destra soltanto sia esso 'A; per ultimo, compreso il confine sinistro solamente sia 

 questo limite A'. 



Vediamo ora quali relazioni di grandezza hanno luogo fra queste quantità. Per 

 procedere però con chiarezza giova distinguere quattro casi; 1. i due simboli ip(m), 

 <p(n) hanno significato; 2. il primo soltanto rappresenta una grandezza; 3. il secondo 

 solamente ; 4. nessuno dei due. Gli è chiaro come in ciascuno dei casi accennati 

 giovi ammettere che la <p(x) esista per un numero illimitato di punti del tratto mn. 



Nel primo caso, quando sia tp(w) <T 'A', </> (n) <C 'A', si avrà 



A= r A = A'=:'A'; 



se invece si avesse 



<p {m) < 'A', <p (ri) > 'A', ossia <p (m) > 'A', <p (n) < 'k', 



sarebbe 



A = 'A = </, (n), 'A! = A'< A, oppure A = A' = </, (w), 'A' = 'A < A 

 rispettivamente; per ultimo, se fosse tp(m) > 'A', <p(n) > 'A', ne risulterebbe 

 A = A' > 'A > 'A r , oA='A>A'> 'A\ oppure A = 'A = A' > 'A r , 

 secondo che 4>(m) è maggiore minore 0 eguale a <p(n). Nel secondo caso si ha ognora 



A = A', r k'='k, A > r A' ; 



nel terzo 



A = 'A, 'A! = A' , A>'A'; 



ed infine nel quarto 



A = 'A' = 'A=A'. 



Ciò posto, gli è chiaro come la somma 2 5 m f s J k m C s > non rimanga di necessità 

 la stessa, sostituendo a tutte le grandezze kj*) 0 a parte delle medesime ad ar- 

 bitrio una delle corrispondenti 'k r J s J, 'kJ s K k'J'l. Egli è però notevole come la 



ls 



somma I/mltJ') %J S K ove con E,/ S J si indica una qualsivoglia delle quantità 

 1 



kj*), kj s ), 'k m ( s ), 'k'J s ), tenda al limite L per s infinito. 



Infatti, essendo b m (°) E.W < 3 m fO kj s ), si ha IrntJ'J kj s ) > 2m $J*) ®J% 



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