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qualunque sia s. D'altra parte, supposto sempre che si abbia B 2ry r y' r <i — i, 



i 2 



facciamo V indice del gruppo generico Gr sì grande, poniamo v, in guisa che 

 G-y r (r >• 0) soddisfi rispetto a G s alle stesse condizioni, alle quali soddisfaceva 

 Oq r 0' > 0) rispetto a Gy nella dimostrazione del secondo Lemma, sarà in allora 



Iv-ir-r ls 



2m tj**-*) k j»-*-')— 2m ti m C>) E,/V< s, 

 i i 



Qaesta diseguaglianza si dimostra con metodo identico a quello tenuto per dimo- 

 strare il Lemma II. 0 Se si manda ora r all'infinito si ha 



h 



i 



II teorema precedente è quindi generalizzato. 



5. Il limite superiore della funzione — f (x) in un dato segmento, compresi 

 amendue gli estremi oppure uno soltanto, è precisamente il limite inferiore della 

 f (x) preso con segno contrario nello stesso segmento con le stesse particolarità ri- 

 spetto ai limiti. Se adunque si indica con ej s ) la quantità analoga ad E,/^ rela- 

 tiva al limite inferiore, potremo enunciare il teorema: 



ls 



La somma 2m §J S ) ej s ) converge ad un valore l al crescere indefinito di s, 

 i 



quale si sia la serie di gruppi a cui ci riferiamo. 



Se si indica con b m C s J una quantità non maggiore di kj s ) ne minore di a m ( s ), 



ls 



la funzione 9(s) = 2m 5,/^ bJ*J sarà limitata dalle due rette y = L — e l5 y== l -+- s , 

 i 



indicandosi con t ì ed s s due quantità, che non ponno eccedere i limiti o ed L — l, 

 mentre 5 va all' infinito, quale si sia la serie dei gruppi a cui ci riferiamo. 



6. Diremo oscillazione della f{x) nell'intervallo 8 m f s J la differenza E,/^ — e j*), 

 che può manifestamente assumere 16 valori, 4 dei quali però sono al massimo di- 

 stinti. Chiameremo oscillazione massima la differenza kj s ) — aj s ) e minima 

 l'altra r k!J°) — 'a'J s ). 



Posto EJ') — ej*) = 0,/ s A sarà 



h 



lim 2m §J S J 0J S J = L — l, 

 s = oo 1 



quale si sia il gruppo che si considera. 



Quando si abbia L = l diremo che la data funzione è integrabile, e si dirà 

 integrale della medesima tra i limiti a e & il valore L. In questo caso si avrà ma- 

 nifestamente 



lim 2?n§,/^E/^= lim 2m dj'! ej°) ==L = l, 

 S = oo 1 S = oo 1 



quale si sia la serie dei gruppi a cui ci riferiamo. 



