Nelle somme precedenti, quando la f (x) sia integrabile, può sostituirsi alle 

 quantità E n /V, ej s ) una grandezza qualsivoglia cj s ) tale che si abbia 



kJ'J > cJ s J S aM 



sia che la / (oc) raggiunga o no nel tratto S,/ S J, gli estremi inclusi, questo valore, 

 in quanto si ha 



III. 



1. La condizione L — l può presentarsi sotto altri aspetti. 



Sia G-j, Gr a , G 3 , .... una serie di gruppi determinata ad arbitrio e a una gran- 

 dezza arbitraria ; indichiamo con S/^ la somma degli spazi nei quali la oscil- 

 lazione massima Q( s ) = — a(*ì è eguale e maggiore di a, somma che potrà 

 i 



essere anche zero. Ciò posto, non si ha al certo 



la 



i i 



h 



e poiché lim 2m §J S ) Oj s ) = 0, sarà lim S/ <r) = 0. Adunque : 



S = 00 1 



Se una funzione f (x) è integrabile, la somma degli spazi S/°"J, nei quali la 

 oscillazione massima non è inferiore alla quantità arbitraria a, dee annullarsi 



con =— >, la serie dei gruppi essendo pure arbitraria. 



Indichiamo con 0J S ) la oscillazione minima nelì' intervallo §J S ), e poniamo 



che si possa assumere per s un valore, tale, che per esso e per tutti i superiori la 

 somma degli spazi, nei quali la quantità 0,/V non è inferiore alla grandezza ar- 



Mirarla e, sia piccola quanto si vuole. Detta e questa somma, ed 0' la oscillazione 

 massima della f (x) nell' intervallo a b, si avrà 



h 



2m $J S ) 0J S ) < 0'. e *M*> 



1 9 



e quindi 



lim 2m §,/ s ; 0,/ s )= 0, 



