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la funzione è adunque integrabile, e quindi 



h 



Uni Zm $J S ) 0J S ) = 0, 

 s = oo 1 



Si ha perciò * 



La condizione necessaria e sufficiente affinchè la funzione f (x) sia integra- 

 bile è, che la somma degli spazi, nei quali la oscillazione minima non è inferiore 



alla quantità arbitraria a, converga a zero con — , se ci riferiamo adunasene 



determinata di gruppi. 



2 Questa condizione può presentarsi sotto un terzo aspetto, come risulta da 

 quanto segue. 



Sia © (x) una funzione che esiste per un numero illimitato di punti dell' in- 

 tervallo c c -t- vj, quale si sia vj ; sia poi 6 l (vj) il limite superiore della medesima nel 

 tratto c c -t- >j, escluso il limite c soltanto. Facciamo ora convergere yj allo zero 

 sempre decrescendo, 9 l (vj) tenderà ad un limite Q y (h- 0) senza oscillare. Se indi- 

 chiamo con p\, p, 2 , p 3 , .... una serie illimitata di grandezze positive tali, che si abbia 



Uni p n = 0, sarà lim Q^pn) = ^ (-+- 0). 

 n — oo n ■===■ oo 



Detto 0 2 (vj) il limite inferiore della funzione © (x) nel tratto c -+- 0 c-+-vj, 

 il limite c escluso soltanto, sarà 0 2 (-^0) una grandezza determinata. 



Si dirà oscillazione della © (x) a destra di c la differenza B l (-t- 0) — 0 2 (-+- 0), 

 e si indicherà col simbolo O c ^_ y : questa differenza non dipende dal valore che la © (x) 

 assume per avventura per x = c. 



Nella ricerca fatta or ora gli è indifferente il considerare o no il valore © (ch-vj), 

 se pur esiste ; in altri termini, se con ió l (vj) si indica il limite superiore dei valori 

 assunti dalla © (x) nel tratto cc + ij, i limiti esclusi, sarà lim w l (vj) =9 l (-+-0). 

 Infatti, si ha ^ ^ 73 ^ 



0, (^^©.(h-O), 



quale si sia vj. 



Analogamente si definisce la oscillazione O c _ 0 della © (x) a sinistra del punto c. 

 Se O c +. 0 = 0, la © (x) tenderà ad un valore per x = c 0, se O c „ 0 per x = c — 0. 



Consideriamo ora la © (x) nel tratto c — vj c + yj, i limiti inclusi, e diciamo 

 © t (v?) il suo limite superiore nel medesimo : sarà © 1 {rf) una funzione, la quale per 

 n — -+- 0 tende ad un limite senza oscillare e che non cessa mai di esistere in detto 

 intervallo. Se consideriamo i tratti m i n t , m 2 ?i v scelti in guisa che ciascuno 

 contenga nel suo interno il punto c, e che sia lim m r n r = 0, e chiamiamo 



r = oo 



^ (m r n r ) il limite superiore della © (#) nel tratto w r w n compresi gli estremi , sarà 

 lim (w r w r ) = ©, (-+- 0). Il limite inferiore della © (a;) nel tratto c — vj c-t-vj, 

 r = oo 



* V. Riemann, Tìeber die Darstellbarkeit einer Functìon durch eìne trigonoiiaètrische Èeihe, 

 p. 19 e seg te . 



