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i limiti inclusi, si indicherà con <p a (>j), ed è chiaro che questa funzione tenderà 

 per o = 0 ad un limite senza oscillare. Se con ^, (vj) e con (rj) si indica il limite 

 superiore ed inferiore della q> (x) nel tratto c — jj e -+- 77, ambo i limiti esclusi 

 oppure uno soltanto, si avrà ^, (-+- 0) = cp i (-*- 0), / 2 (-1- 0) = <p ì (-+- 0). Nel cal- 

 colare (jj) si potrebbe tener conto per certi valori di »j di ambo i limiti, per 

 altri di quello solo di destra 0 di sinistra, oppure di nessuno dei due, e sarebbe 

 sempre y r (-+- 0) == cp t (-+- 0). Detto cp (/jj, vj) il limite superiore della funzione 9 (rr) 



nel tratto c — rj 1 c-t-vj^ij,^ vj Y inclusi ambo i limiti nessuno od uno soltanto, 



se amendue le grandezze yj, vj, convergono in modo qualsivoglia allo zero si avrà 

 lira <p (•/?„ ìj) «= 5?, (-4- 0). 



Ciò posto, diremo oscillazione della cp (x) nel punto c la differenza (-r- 0) — (p ì (-i-0) 

 e la indicheremo con O c . In un segmento vanno distinte più oscillazioni, in un 

 punto invece una soltanto. Potrebbe essere O c _,_ 0 == O c _ 0 = 0 e tuttavolta 0 0 ^> 0, 

 se però si avesse O c = 0 ne conseguirebbe O c _^ 0 = O o _ 0 = O f . Ove non si potesse 

 assegnare entro il tratto c — n c, quale si sia rj, un punto pel quale abbia luogo 

 la dipendenza, il simbolo O c _ 0 non avrebbe significato, e se di più anche cp (c) 

 non rappresentasse una grandezza si avrebbe' O c = O c _ l _ 0 . 



3. Data la funzione f (x), ed assegnata la quantità arbitraria a, scinderemo i 

 punti interni di ab in due classi: apparteranno alla prima quelli pei quali la oscillazione 

 è inferiore a a, alla seconda gli altri. Potrebbe darsi che tutti i punti interni di 

 ab appartengano alla prima od alla seconda classe : se fosse ad esempio j<1, e 



P 



la f (x) nulla in tutti i punti di ascissa — ed eguale ad uno invece in quelli di 

 P 



ascissa ^— , p e q essendo primi tra loro, non facendosi alcuna ipotesi circa al com- 

 portarsi della medesima nei punti, che distano dall'origine delle ascisse di lunghezze 

 incommensurabili con la unità di misura, sarebbe sempre 0^ > a. 



Egli è manifesto che, se la f (x) e integrabile, e se ci riferiamo ad una serie 

 di gruppi determinata ad arbitrio Gr,, Gr 2 , Gr 3 , al crescere indefinito dell'indice del 

 gruppo la somma degli spazi S nei quali, inclusi i limiti, cadono punti di seconda 

 specie converge a zero. Infatti, se ciò non avesse luogo, non dovrebbe tendere a 

 zero la somma degli spazi ò\ i quali contengono nel loro interno uno 0 più punti 

 la oscillazione dei quali è > a, poiché se essa andasse a zero, altrettanto si verifiche- 

 rebbe per la somma degli spazi, che, inclusi i limiti, contengono punti di seconda 

 specie. Ma, se un intervallo contiene nel suo interno un punto soltanto pel quale 

 0\r > a non sarà al certo la oscillazione minima relativa al medesimo minore di a, 



h 



per cui non si avrebbe lini 2m OJ s ) § m W = 0 ; quindi la f (x) non sarebbe in- 



s = 00 1 a 



tegrabile, contro la fatta ipotesi. 



Eeciprocamente, se al crescere indefinito dell' indice del gruppo considerato la 



somma degli spazi, che contengono nel loro interno punti di seconda specie, tende 



a zero, la funzione è integrabile, come risulta da ciò che segue. 



