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4. Premettiamo il seguente Lemma : 



Se nélV intervallo mn appartenente ad ab la f(x) è, compresi i limiti, scevra 

 da punti di seconda specie, si potrà sempre dividere esso tratto in un numero limi- 

 tata di parti, per modo che in ciascuna delle medesime la oscillazione massima 

 della f(x) sia inferiore a a. 



Ove la oscillazione in mn, inclusi i limiti, fosse inferiore a a il teorema sarebbe 

 evidente , e sarebbe pur tale, se la oscillazione minima fosse più piccola di a : poniamo 

 ora che ciò non si verificili. Dimostro prima che rispetto a ciascun punto c di mn, 

 inclusi i limiti, posso trovare un segmento vj c , tale, che considerando il tratto li- 

 mitato dai punti di ascissa c — vj c s, c -+- vj, — e in esso la oscillazione massima 

 sia inferiore a a, quale si sia la quantità positiva ed arbitrariamente piccola e, men- 

 tre la stessa proprietà non ha luogo nel segmento c — vj,, — e c-*-r Jc -+- s. 



Scelta la grandezza vj opportunamente, sarà la oscillazione massima di f(x) nel 



tratto c — vj ch-vj non minore a a, considero quindi l'intervallo c - — - vj c -+- — vj. 



Ora, potrebbe darsi che si avesse — vj == vj c ; se ciò non ha luogo, a seconda che 



la oscillazione massima della f(x) nel tratto c — ~ vj c 



Li 



— vj è o no inferiore a a, 



a 



3 3 1 1 



considero rispettivamente i segmenti c — ■ — vj c-t— jvj, oppure o jvj c_l ~ "4" ^ • 



Se non fosse q 0 — — vj, oppure vj c 



vj dimezzerei ciascuno degli intervalli di 



una delle coppie dei tratti egualmente numerati nella figura 



c^ T vj 



C— VJ, 



o 

 O 



4 c 4 



3 





i 



c- ¥ vj 



. 1 



C-+ 



1 



1 



e se dopo un numero limitato di operazioni non si giunge alla meta, si tenderebbe ad 

 una coppia di punti distinti dal punto c, perchè il segmento mn è scevro da punti 

 di seconda specie, che sarebbe la richiesta. 



Adunque vj c è una funzione di c che esiste per tutti i punti del segmento mn, 



